§ 6. Разделенные разности и интерполирование с кратными узлами

Пусть требуется построить многочлен степени удовлетворяющий условиям

здесь все различные, . Такой многочлен называют интерполяционным многочленом с кратными узлами, а числа — кратностями узлов .

Интерполяционный многочлен определяется единственным образом. В самом деле, предположим, что существуют два многочлена степени , удовлетворяющих условиям (1). Тогда их разность удовлетворяет соотношениям

точки являются нулями многочлена кратности соответственно. Мы получили, что многочлен степени имеет s нулей. Следовательно, .

Далее будем предполагать, что функция непрерывно дифференцируема s раз. Существование интерполяционного многочлена , удовлетворяющего условиям (1), покажем, получив для него явное выражение.

Зададимся последовательностью совокупностей точек , удовлетворяющих следующим условиям: при все точки различные, при . В частности, можно положить .

Построим интерполяционный многочлен степени совпадающий с в точках разделенных разностей, соответствующих этому набору узлов, имеет вид

Выпишем интерполяционную формулу Ньютона с разделенными разностями:

где

Выражая разделенные разности через производные, имеем

Переходя к пределу при , получаем

Таким образом, из наших рассуждений следует, что все разделенные разности в таблице (2) вида при имеют пределы, которые естественно обозначать . Из (3) следует, что

Задача 1. Индукцией по порядку разности показать, что все разделенные разности, входящие в таблицу (2). имеют конечные пределы.

Если все элементы таблицы (2) имеют пределы, то на любом отрезке многочлены при стремятся к некоторому многочлену

Многочлен записывается в виде

Отсюда вытекает, что он удовлетворяет условиям, заданным в точке . Вследствие единственности интерполяционного многочлена многочлен не изменится при переобозначении . Поэтому предельный многочлен будет удовлетворять заданным условиям в любой точке . Следовательно, этот многочлен является искомым.

Задача 2. Доказать равенство

где .

Согласно (5.1) справедливо равенство

где . Переходя к пределу при , получим

Сравнивая это равенство с (6), имеем

Это соотношение остается в силе при предельном переходе , — любое. Из этих соотношений следует, что формула (5.4)

(переписанная в других обозначениях) справедлива и в случае, когда не все различные.

Мы доказали существование интерполяционного многочлена, удовлетворяющего условиям (1). Задачу интерполяции можно было бы поставить и таким образом.

Задана таблица чисел . Требуется построить многочлен степени , удовлетворяющий условиям

Эта задача равносильна исходной, поскольку всегда можно указать гладкую функцию такую, что