§ 5. Погрешность функции

Довольно часто возникает следующая задача. Искомая величина является функцией от параметров . Известна область G в пространстве переменных , которой принадлежат эти параметры. Требуется получить приближение куш оценить его погрешность.

Если — приближенное значение величины , то предельной абсолютной погрешностью называют наилучшую при имеющейся информации оценку погрешности величины согласно этому определению в данном случае

предельной относительной погрешностью называют величину .

Задача 1. Доказать, что предельная абсолютная погрешность минимальна при , где .

Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда область G — прямоугольник:

и за приближенное значение принимается

Если — непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов, то, согласно формуле Лагранжа для функций многих переменных,

где

Отсюда следует оценка погрешности

где

Положим

Если производные непрерывны, то и

Здесь выражение понимается в смысле: при . Следовательно, , где

При практической работе вместо оценки погрешности (3) обычно пользуются более простой, вообще говоря неверной, «оценкой»

называемой линейной оценкой погрешности.

Задача 2. Доказать, что .

Расмотрим некоторые примеры определения величин и произведем их сравнение.

1. . Тогда

Здесь оценка погрешности через величину , предельно точная оценка (1) и линейная оценка (4) различаются несущественно.

2. . Тогда

Здесь различие между этими оценками более заметно.

3. Проведем конкретную оценку погрешности в случае вычисления значений простейших функций. Пусть

где принимают значения или пусть известны оценки . В данном конкретном случае , поэтому

Поскольку, по определению, погрешностью называют любую оценку для , то это соотношение можно также записать в виде

Это равенство иногда формулируется в виде правила: предельная абсолютная погрешность суммы или разности равна сумме предельных погрешностей.

Если погрешности в величинах зависимы, то оценка (5) часто может быть улучшена. Рассмотрим простейший пример: : известно, что в обоих случаях одно и то же; тогда независимо от погрешности в значении сумма равна 1 и погрешность суммы равна нулю.

Пусть теперь тогда при всех j имеем и

После деления на получаем

По отношению к частным случаям или соотношение (6) иногда формулируют в виде правила: предельная относительная погрешность произведения или частного приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей.

4. Довольно часто возникает задача оценки погрешности функции, заданной неявно уравнением

Дифференцируя (7) по , имеем

откуда

При заданных можно найти как корень уравнения (7), а затем значения

С помощью этих величин можно получить «линейную оценку» погрешности (4).

Вследствие зависимости производных от самого значения получение строгих оценок (1), (3) здесь довольно трудоемко.

Часто решение задачи зависит от приближенно задаваемых параметров настолько сложным образом, что получение или использование явных формул для производных по этим параметрам практически неприемлемо из-за своей громоздкости и трудоемкости. В такой ситуации для оценки этих производных целесообразно воспользоваться какими-либо приближенными формулами дифференцирования, например

Так, производную решения дифференциального уравнения по начальному условию, в принципе, можно вычислить, интегрируя соответствующее уравнение в вариациях, решением которого является эта производная. Однако часто разумнее воспользоваться предыдущей формулой.

5. Рассмотрим один наиболее типичный частный случай из п. 4. Имеется приближение к корню уравнения

требуется оценить его погрешность. Вычислим величину

При малых из равенства

следует, что

и, таким образом,

В часто встречающемся случае получаем

6. Обратимся к оценке погрешности корней квадратного уравнения

при заданных приближенных значениях коэффициентов , и их погрешностях .

Пусть — решение уравнения

Из формулы (9) имеем

и, следовательно,

Рассмотрим некоторую область изменения коэффициентов . Из явного выражения корней

следует, что корни явяляются непрерывными функциями коэффициентов, поэтому

при из этой области, при . Правая часть в (11) стремится к при ; поэтому «линейная оценка» погрешности при помощи формулы (4) может оказаться в некоторых случаях сильно завышенной по сравнению с точной оценкой погрешности (3). Дело в том, что ранее предполагалась непрерывная дифференцируемосгь по аргументам . Тогда погрешность оказывалась величиной того же порядка, что и погрешности аргументов . В случае, когда величина определяется неявным образом, при некоторых значениях параметров она оказывается недифференцируемой функцией аргументов и характер оценки меняется.

Пусть является двукратным корнем уравнения при . Разложим левую часть (7) в ряд Тейлора в окрестности точки . Поскольку

при — двукратном корне уравнения (7), то уравнение (7) примет вид

где

а отброшенные члены имеют порядок . В случае уравнения (10) можно показать, что

Таким образом, погрешность приближенного значения корня оказалась величиной порядка .

Задача 3. Показать, что в случае, когда уравнение имеет корень кратности , погрешность корня имеет порядок .