§ 6. Оценка погрешности численного интегрирования на равномерной сетке
Произведем конкретную оценку погрешности численного интегрирования в случае двукратного интеграла от дважды непрерывно дифференцируемой функции
Запишем исходный интеграл как повторный:
где
Обозначим
Применим для вычисления интеграла (1) составную формулу трапеций с постоянным шагом разбиения 
:
Поскольку
то
Поэтому при 
, согласно оценке погрешности составной формулы трапеций (3.8.8), имеем
Для вычисления интегралов 
применим составную формулу трапеций; имеем
Для погрешности
согласно (3.8.8) имеем
Подставляя 
в равенство 
, получим цепочку соотношений
где
Выражение 
является квадратурной суммой, вычисляемой по значениям функции 
в 
точках 
— погрешность численного интегрирования. Из (4) следует оценка
и вследствие (2), (3) имеем
При 
получаем, что
и по отношению к общему числу узлов интегрирования 
погрешность имеет порядок 
.
Предположим, что требуется гарантия, чтобы погрешность не превосходила 
. Для этого достаточно выполнения неравенства
Если 
и 
отличаются несущественно, то можно взять 
и исходя из оценки (5) определить минимальное 
из условия
Если же 
и 
различаются существенно, то имеет смысл затратить время на минимизацию вычислительной работы, т. е. искать 
и 
, минимизирующие 
при условии
Обозначим через 
класс функций, у которых в рассматриваемой области определения производные 
, непрерывны, а производные 
кусочно-непрерывны и удовлетворяют условиям 
.
Задача 1. Пусть для вычисления интеграла
применяются составные формулы точности 
по каждой оси, где 
— число узлов, соответствующее направлению 
. Получить оценку погрешности
Минимизируя оценку (7) при заданном общем числе узлов 
, получить оценку погрешности 
.
Рассмотрим частный случай: 
. Тогда 
. Таким образом, рассматриваемые квадратуры обеспечивают оценку погрешности 
. У реальных подынтегральных функций порядок ограниченных производных 
часто оказывается не очень большим, поэтому при больших s, как показывает полученная оценка, скорость сходимости оказывается плохой.
Возникает вопрос об оптимальных квадратурах на классах многомерных функций. Так как ни для каких реальных классов функций такие квадратуры неизвестны, ограничимся оценкой снизу погрешности оптимальных квадратур.
