§ 5. Квадратурные формулы Гаусса

Из оценки (2.1) следует, что погрешность квадратуры оценивается через погрешность приближения функции многочленами. Функция приближается многочленами более высокой степени точнее, чем многочленами низшей степени:

Поэтому есть основания обратить внимание на квадратуры, точные для многочленов по возможности более высокой степени.

Рассмотрим следующую оптимизационную задачу. При заданном числе узлов построить квадратуру

точную для многочленов наиболее высокой степени. Такие квадратуры называют квадратурами Гаусса.

Мы видели (§ 2), что квадратура (1) точна для многочленов степени , если она точна для всех функций . Следовательно, должны выполняться соотношения

Получили систему из уравнения относительно неизвестных , где — неизвестные узлы, — неизвестные коэффициенты квадратурной формулы (1).

При число уравнений не превосходит числа неизвестных, поэтому можно ожидать, что алгебраическая система (2) имеет решение. Можно попытаться построить квадратурные формулы, соответствующие значению , решая эту систему, однако неясно, будут ли узлы квадратур, получаемые из (2), принадлежать отрезку . В противном случае может оказаться, что функция не определена в узлах интегрирования и употребление квадратуры невозможно.

Заметим, что в гл. 8 при построении конечно-разностных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений возникнут квадратуры с узлами вне отрезка .

Займемся построением квадратур, соответствующих максимальному значению .

Лемма 1. Если — узлы квадратуры (1), точной для всех многочленов степени , то

при и — произвольном многочлене степени не выше .

Доказательство. Пусть - некоторый многочлен степени не выше . Вследствие условия леммы квадратура (1) точна для многочлена степени . Поэтому

Последнее соотношение вытекает из равенства при всех j. Лемма 1 доказана.

Далее предполагается, что почти всюду на .

Из результатов § 4 вытекает единственность многочлена , ортогонального всем многочленам низшей степени, если скалярное произведение задано соотношением

Поэтому и узлы отыскиваемой квадратуры должны быть нулями . Согласно результатам § 4 многочлен на имеет различных нулей.

Лемма 2. Пусть — нули ортогонального многочлена степени и (1) — квадратура, точная для многочленов степени . Тогда, квадратура (1) точна для многочленов степени .

Доказательство. Произвольный многочлен степени представим в виде

где и - многочлены степени . Имеем

так как по условию леммы. Далее,

поскольку вследствие свойства ортогональности многочлена многочленам низшей степени, а все по предположению леммы. Следовательно, . Лемма 2 доказана.

Теперь можно построить требуемую квадратурную формулу. Для этого зададимся узлами интерполяции , в которых и построим (например, следуя построениям § 3) квадратуру, точную для многочленов степени . В итоге получим требуемую квадратуру

точную для многочленов степени .

Если почти всюду то не существует квадратуры, точной для всех многочленов степени . В самом деле, возьмем тогда левая часть (1)

а правая равна 0.

Лемма 3. Коэффициенты положительны.

Доказательство. Функция является многочленом степени , обращающимся в нуль во всех точках . Квадратура (3) будет точна для этой функции, поэтому

Раскрывая выражение , получим

Лемма доказана.

Поскольку все , то, воспользовавшись (2.1) и (2.2), имеем

Можно получить также оценку погрешности квадратур Гаусса через . Эта оценка имеет вид

Для практического применения формул Гаусса необходимо иметь в распоряжений узлы и коэффициенты этих квадратур. Можно показать, что для случая — четной относительно точки , нули ортогональных многочленов, т. е. узлы квадратур Гаусса, расположены симметрично относительно середины отрезка . Вследствие (3.5) коэффициенты квадратуры Гаусса (3) будут удовлетворять условию четности . Это обстоятельство наполовину уменьшает объем таблиц для формул Гаусса.

Если , то коэффициенты и числа не зависят от отрезка . В самом деле, если многочлен принадлежит системе многочленов, ортогональных с весом 1 на , то многочлен принадлежит системе многочленов, ортогональных с весом 1 на . Поэтому он сам, его нули, а согласно (3.3) и коэффициенты определяются однозначно, независимо от исходного отрезка .

Приведем для сведения параметры квадратур Гаусса для отрезка при . В этом случае остаточный член для квадратурной формулы (3) есть

Вследствие свойства симметрии мы указываем лишь неотрицательные и коэффициенты при них (табл. 1).

Таблица 1

В настоящее время составлены таблицы узлов и весов квадратур Гаусса по крайней мере до с 20 десятичными знаками. Вследствие их большого объема, начиная с некоторого , их публикуют лишь для .

Иногда целесообразно видоизменить идею Гаусса построения квадратур, точных на многочленах максимально высокой степени. Например, пусть требуется вычислить , а значение вычисляется существенно быстрее, чем значения в других точках отрезка [0, 1] (или почему-либо заранее известно). Тогда имеет смысл построить квадратуру

точную для многочленов степени . Если требуется вычислить , а значения и вычисляются существенно быстрее, чем значения во внутренних точках отрезка , то имеет смысл построить квадратуру

точную для многочленов степени в последнем случае оказывается, что при всех .

Степень многочлена, для которого точна квадратура, определяется числом свободных параметров квадратуры. Квадратура (6) называется квадратурой Лобатто или формулой Маркова; при она совпадает с формулой трапеций, при — с формулой Симпсона.

Задача 1. Введением весовых функций и заменой переменных свести построение квадратур (6) к построению некоторых квадратур Гаусса.

Задача 2. Пусть Доказать, что соответствующей квадратурой Гаусса является

где многочлена Чебышева .

Указание. При проверке точности квадратуры для многочлена степени представить многочлен в виде

и установить, что квадратура точна для при .

В настоящее время рассчитано много таблиц формул Гаусса и формул типа Лобатто, в частности, при

а также в более общем случае при

и при

Если подынтегральная функция интеграла

хорошо приближается тригонометрическими многочленами с периодом , то целесообразно применить квадратуру, являющуюся аналогом квадратуры Гаусса для этого случая вида

Имеем равенство

В то же время

Следовательно, квадратура (7) точна для функции при или при не целом и для всех функций . В результате этого оказывается, что квадратура точна для любого тригонометрического многочлена

(8)

следовательно,

Аналогично (4) получаем оценку

Нижняя грань берется по множеству всех многочленов вида (8).

Задача 3. Доказать, что не существует квадратур с N узлами, точных для всех тригонометрических многочленов степени .