§ 13. Главный член погрешности

Применение формул для оценок погрешности, подобных полученным в § 2, 3, требует достаточно высокой квалификации исследователя, например для получения требуемых оценок производных. При получении ряда из этих оценок, например оценок для составных формул трапеции и Симпсона, возможно существенное загрубление оценки, поскольку общая оценка погрешности равна сумме модулей оценок на отдельных отрезках.

Эти обстоятельства определили интерес к получению выражения для главного члена погрешности. По информации о величине главного члена погрешности можно полноценнее проводить сравнение методов.

Как будет видно далее, сам факт наличия главного члена у погрешности позволяет судить о реальной величине погрешности, не прибегая к теоретическим оценкам. Обратимся к составной квадратурной формуле трапеций вычисления интеграла с постоянным шагом .

Для удобства обозначим , в частности . Имеем

Согласно § 3.2 справедливо равенство

Просуммировав по q, получим

Величину погрешности можно записать в виде

Выражение в правой части есть квадратурная формула для интеграла , поэтому при имеем

Следовательно,

Задача 1. Пусть на . Показать, что в этом случае .

Задача 2. Пусть на отрезке . Показать, что .

Полученное соотношение для может использоваться в различных целях. Например, его можно представить в виде

После вычисления получаем значение главного члена погрешности. Предположим, что достигнутая точность не является удовлетворительной. Запишем (1) в виде

где

Как следует из решения задачи 2, при выражение оказывается квадратурной суммой с погрешностью , т.е. такой же по порядку, как у формулы Симпсона.

Можно попытаться выделить главный член погрешности получившейся формулы. Имеем равенства

Величину будем рассматривать как приближенное значение интеграла

Подставляя в разность представление в виде отрезка ряда Тейлора, можно получить главный член погрешности на алементарном отрезке в виде и т.д.

Продолжая процесс выделения главного члена погрешности, приходим к последовательности квадратурных формул Эйлера

с оценкой погрешности

Существует следующее соотношение, которому удовлетворяют числа :

Обычно принято записывать числа в виде , где — так называемые числа Бернулли.

Для сведения приведем несколько значений чисел :

Использование формул Эйлера неудобно, поскольку необходимо вычислять не только значения функции, но и значения ее производных.

Однако, если в выражении заменить производные и производными интерполяционных многочленов степени соответственно с узлами и , то при и после проведения промежуточных преобразований получаются формулы численного интегрирования Грегори

где

В частности,

В случае подынтегральных функций с нерегулярным характером поведения, типа рассмотренных в § 11, применение формул Эйлера и Грегори неэффективно, поскольку производные высших порядков или не ограничены, или очень велики. Поэтому при непосредственном вычислении определенных интегралов эти формулы в настоящее время применяются редко. Однако они используются при интегрировании функций, заданных таблично, при вычислении неопределенных интегралов, при решении интегральных уравнений Вольтерра и других задачах, где существенно, чтобы значения подынтегральной функции вычислялись именно на равномерной сетке.

Задача 3. Доказать, что главный член погрешности квадратуры Грегори есть .

Задача 4. Пусть вычисляется по составной формуле трапеций с переменным шагом интегрирования: , где — гладкая функция. Доказать, что главный член погрешности есть

Указание. См. построения § 11.