§ 1. Решение задачи Коши с помощью формулы Тейлора

Один из простейших по своему описанию методов решения задачи Коши основан на использовании формулы Тейлора.

Пусть требуется найти на отрезке решение дифференциального уравнения

при начальном условии функция, аналитическая в точке . Дифференцируя (1) по , имеем соотношения

Подставляя последние соотношения, последовательно получаем значения

Таким образом, можно написать приближенное равенство

Если значение больше радиуса сходимости ряда

то погрешность (2) не стремится к нулю при и предлагаемый метод неприменим.

Иногда целесообразно поступить следующим образом. Разобьем отрезок на отрезки . Будем последовательно получать приближения к значениям решения , по следующему правилу. Пусть значение уже найдено, вычисляем значения в точке производных решения исходного дифференциального уравнения, проходящего через точку . На отрезке полагаем

и соответственно берем

Рассмотрим случай, когда . Если бы значение совпадало со значением точного значения , то погрешность от замены на имела бы порядок . Поскольку мы вносим погрешность на отрезках, то можно ожидать, что при уменьшении шага сетки будет выполняться соотношение

В ряде случаев такого рода рассуждения приводят к неправильному заключению о наличии факта сходимости приближенного решения к точному, в то время как в действительности этого нет. Поэтому строгое обоснование сходимости методов при уменьшении шага, а также получение оценки погрешности имеет не только теоретическое, но и важнейшее практическое значение.

При использовании этого метода нужно вычислять значения функции и всех ее производных при , т.е. вычислять значений различных функций. Это требует написания большого числа блоков вычисления производных, что противоречит основной тенденции упрощения отношений между пользователем и ЭВМ.

В настоящее время на некоторых ЭВМ имеются пакеты программ, которые по заданной программе вычисления значений функции строят программу вычисления значений ее производных. Таким образом, при наличии таких пакетов программ, казалось бы, отпадает приведенное выше возражение о сложности использования описанного ранее метода.

Однако этот метод применяется редко. Как правило, программы, создаваемые с помощью таких пакетов, при той же точности результата требуют существенно больших затрат машинного времени, чем программы, основанные на рассматриваемых далее более простых методах типа Рунге-Кутта и Адамса.

В то же время описанный выше алгоритм может быть полезен. Например, при расчетах траекторий движения небесных тел приходится многократно интегрировать системы дифференциальных уравнений вполне определенного вида при различных начальных условиях и различных значениях параметров в правых частях. То обстоятельство, что все время решается одна и та же система дифференциальных уравнений, дает следующее преимущество: конкретные формулы для производных правых частей системы имеют много общего; одновременное вычисление всех этих производных требует относительно малого числа арифметических операций, и рассматриваемый метод иногда оказывается эффективнее других методов численного интегрирования.