§ 11. Оптимизация распределения узлов интегрирования

Решения дифференциальных уравнений и систем могут иметь различную гладкость на различных участках отрезка интегрирования. На примере оценки погрешности метода Рунге—Кутта было видно, что вклад от погрешности интегрирования на некотором шаге в суммарную погрешность в точке равен произведению погрешности на шаге на множитель , зависящий от .

Поэтому для некоторых классов дифференциальных уравнений становится особо актуальной задача оптимизации распределения узлов интегрирования. Произведем анализ этой проблемы, не вникая в тонкости обоснования проводимых построений. Для простоты предполагаем, что начальное условие задано точно и округления отсутствуют. Погрешность результата численного интегрирования по методу Рунге—Кутта в точке не превосходит

Предположим, что гладкая функция. Согласно формуле Лагранжа

где , поэтому

следовательно (см. § 4), имеем

при . Таким образом, можно написать асимптотические равенства (см. также § 4)

используя которые, выражение (1) для представим в виде

где

При гладкой функции величина стремится к интегралу

и, таким образом,

Дальнейшие построения являются некоторым усложнением построений из § 3.12. Примем за новую переменную в интеграле (4). Тогда он запишется в виде

где

Задача минимизации интеграла (4) за счет выбора функции и задача минимизации этого же интеграла за счет выбора обратной функции в форме (5) эквивалентны. Вследствие равенства уравнение Эйлера

в данном случае приобретает вид . Отсюда следует, что

Возвращаясь к переменной , получаем

Решение этого дифференциального уравнения зависит от и еще некоторой постоянной . Их значения следует определить из граничных условий .

Отметим одно неочевидное обстоятельство. Уравнение (6) может быть записано в виде

куда не входят ни начальная, ни конечная точки интегрирования. При уравнению (7) удовлетворяет также функция .

Задавшись некоторым N, осуществим одновременное интегрирование исходного уравнения и уравнения (7), выбирая каждый раз шаги интегрирования из условия . Скорее всего, мы придем в конечную точку с числом узлов , отличным от N, и тогда это распределение узлов не будет являться оптимальным распределением, соответствующим данному N. Это естественно, поскольку, начиная вычисления, мы не могли заранее предвидеть хода поведения решения и сказать, какую величину С следует взять в правой части (7). Однако можно показать, что, вследствие указанных свойств решения уравнения (7), функция будет искомой и распределение узлов — оптимальным (с точностью до погрешности численного интегрирования), соответствующим числу узлов .

Непосредственное интегрирование уравнений (1) и (7) встречает затруднение из-за необходимости вычисления значений функции . Вместо непосредственного вычисления значений этой функции целесообразно использовать величину контрольного члена точности на шаге. При численном интегрировании уравнения (7) следует также иметь в виду, что эти соотношения носят асимптотический характер. В окрестности точек, где , в остаточном члене начинают играть существенную роль слагаемые порядка .

Дополнительное численное интегрирование уравнения (7) может сильно усложнить решение задачи. Поэтому к вопросу оптимизации распределения узлов часто подходят следующим образом. Пусть решаются задачи из некоторого определенного класса. Рассмотрим модельную для этого класса задачу, для которой можно в явном виде решить уравнение (7). Постараемся на ее примере установить зависимость шага (или меры погрешности на шаге) от поведения решения, при которой распределение узлов близко к оптимальному. Далее все задачи этого класса интегрируем с шагом, соответствующим этой зависимости.

В других случаях заранее задаются некоторой формой такой зависимости. Пусть система уравнений порядка интегрируется с контролем точности на шаге. В случае системы уравнений контрольный член будет некоторым вектором . В ряде программ шаг интегрирования выбирается из условия

или из условия

Параметры подбирают из соображений оптимальности распределения узлов в условиях конкретной задачи.

Рассмотрим пример оптимизации распределения узлов интегрирования.

Пусть задача Коши при начальном условии решается методом Эйлера. Тогда

и уравнение (6) имеет вид

Отсюда получаем , т.е. распределение узлов следует взять равномерным.

Наибольшего эффекта решение задачи оптимизации распределения узлов или ее упрощенных вариантов достигает в случае решений с особенностями производных и при решении задач с малыми параметрами при старших производных, например задач типа пограничного слоя.

Литература

1. Бахвалов Н. С. Некоторые замечания к вопросу о численном интегрировании дифференциальных уравнений методом конечных разностей. // ДАН СССР. — 1955. - 104, N 6, С. 805-808.

2. Винокуров В. А., Ювченко Н. В. Полуявные численные методы решения жестких задач // ДАН. - 1985. - 284, N 2, С. 272 -277.

3. Крылов В. И., Бобков В. В., Монаетырнын П. И. Начала теории вычислительных методов. Дифференциальные уравнения — Минск: Наука и техника, 1982.

4. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы. Т. 2 М.: Наука, 1977.

5. Лебедев В. И. Как решать явными методами жесткие системы дифференциальных уравнений // Вычислительные процессы и системы М.: Наука, 1991. Вып.8, С. 237-291.

6. Ракитский Ю. В., Устинов С. М., Черноруцкий И. Г. Численные методы решения жестких систем — М.: Наука, 1979.

7. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциапьных уравнений // Под ред. Дж. Холла, Дж. Уатта. — М.: Мир, 1979.

8. Федоренко Р. П. Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений и их численное интегрирование //В кн. Вычислительные процессы и системы. Вып. 8, М.: Наука, 1991. C.328-3S0.

9. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику — М.: Изд-во МФТИ, 1994.

10. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи М.: Мир, 1999.

11. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи — М.: Мир, 1990.

12. Butcher I. G. A modified multistep method for the numerical integration of ordinary differential equations // J. Assoc. Comput. Math.-1965, 12, N 1. P. 124-135.

13. Dahlquist Y. Stability and error bounds in the numerical integration of ordinary differential equations — Uppsala, Almqvist & Wiksells boktr 130 (1959). P. 5-92.