§ 3. Принцип замороженных коэффициентов

Часто не удается произвести теоретическое исследование корректности разностной задачи и доказать сходимость ее решения к решению дифференциальной задачи. В некоторых случаях на данном этапе развития математической теории такое исследование в принципе возможно, но требует от исследователя достаточно высокой квалификации и больших затрат времени.

В такой ситуации иногда ограничиваются исследованием устойчивости схем на основе описываемого ниже принципа замороженных коэффициентов и последующей экспериментальной проверкой полученных выводов путем расчета тестовых задач, по возможности с известным решением.

Принцип замороженных коэффициентов (ПЗК) заключается в следующем.

1. Для разностной схемы пишется уравнение в вариациях (т. е. уравнение, которому удовлетворяет разность двух бесконечно близких решений). Это уравнение является линейным и в случае линейных задач совпадает с исходным уравнением.

2. Фиксируется некоторая точка Р области G и замораживаются коэффициенты этого уравнения, т. е. все значения коэффициентов уравнения в вариациях берутся равными их значениям в этой точке. Если задача нелинейная, то коэффициенты уравнения в вариациях зависят от неизвестной функции и все значения сеточного решения, входящие в это уравнение, берутся равными их значениям в той же точке Р.

3. Получившаяся сеточная задача исследуется на устойчивость методами, которые применяются для исследования устойчивости сеточных задач с постоянными коэффициентами.

Предположим, что сеточная задача устойчива при выполнении условия

на шаги сетки; это условие, естественно, может зависеть от выбора точки Р.

4. За условие устойчивости принимают некоторое условие , из выполнения которого следует выполнение условия для всех точек . Часто, особенно в случае нелинейных задач, условие устойчивости выбирается с некоторым «запасом устойчивости».

Рассмотрим пример применения принципа замороженных коэффициентов. Пусть решается задача Коши для уравнения

при начальном условии . Через будем обозначать приближение к значению решения в точке . Аппроксимируем уравнение (2) разностной схемой

Пусть - другое решение сеточной задачи (3), т.е. — разность между двумя решениями задачи (3). Имеем равенство (получаемое при подстановке ):

Вычитая из этого равенства соотношение (3), получим

С точностью до членов второго порядка малости по величинам выполнены приближенные равенства

Таким образом, бесконечно малое приращение решения , его так называемая вариация, удовлетворяет уравнению

это уравнение называется уравнением в вариациях для (4).

Заморозим коэффициенты, взяв все значения равными их значениям в некоторой точке

Отсюда имеем равенство

и затем оценку

Поскольку (6) выполнено при всех , то

Положим . Соотношение (6) переписывается в виде

Если , то

Таким образом,

Пользуясь (7), получаем соотношения

На ограниченном промежутке времени при имеем

т. е. разностная задача устойчива по начальным данным.

Устойчивость разностной схемы (5) доказана при условии .

В соответствии с ПЗК постулируется, что исходная разностная схема (3) должна быть устойчива при условии

Для данной разностной схемы (3) можно показать, что это условие является достаточным для ее практической пригодности при малых .

В тех случаях, когда не удается строго обосновать устойчивость разностной задачи, рекомендуется создавать «запас устойчивости», сужая область изменения параметров схемы по сравнению с той, которая получается из принципа замороженных коэффициентов.

Например, в данном случае вместо (8) рекомендовалось бы взять условие

Величина требуемого сужения подбирается из численного эксперимента.

Примеры сужения области устойчивости для различных схем: в 1 раз (сужение не производится); в 1,15 раза; в 1,3 раза: в 1,5 раза; в 2 раза.

Заранее неизвестно, в какой области находятся значения решения сеточной задачи , поэтому до реального решения сеточной задачи нельзя выбрать шаг таким, чтобы при всех выполнялось условие устойчивости (8). В частности, в связи с этим при решении нестационарных задач шаг по времени часто берется переменным: ищутся приближения значениям решения в точках шаг зависит от . При каждом вычисляются

Если оказалось, что , то счет по этой схеме прекращается, поскольку ни при каком не удается добиться удовлетворения условия при всех . Если , то шаг выбирают таким, чтобы выполнялось условие .

Для линейных и слаболинейных задач во всех известных случаях, когда было проведено строгое исследование устойчивости и коэффициенты уравнения удовлетворяли условию Липшица по всем переменным, имел место следующий факт: если выполнялся критерий устойчивости по ПЗК, то схема действительно была устойчива.