§ 5. Интерполяция функций в треугольнике

При решении уравнений в частных производных вариационно-разностными методами возникает следующая задача. Имеется некоторый треугольник , каждая сторона которого разбита на равных частей, и через точки разбиения проведены прямые , параллельные сторонам треугольника. Стороны треугольника также будем относить к множеству прямых . Обозначим через множество, состоящее из точек пересечения этих прямых, лежащих в замкнутом треугольнике . (Таким образом, включает также точки разбиения сторон треугольника и вершины треугольника.) Число таких точек равно .

Будем обозначать их через . Ставится задача построения многочлена степени

принимающего в этих точках заданные значения

Число неизвестных коэффициентов также равно , и, таким образом, соотношения (1) образуют систему уравнений с неизвестными. Если система (1) разрешима, то из нее могут быть найдены коэффициенты . Для их нахождения не обязательно прибегать к описанному выше варианту метода неопределенных коэффициентов, а можно выписать искомый многочлен в явном виде.

Возьмем некоторую фиксированную точку . Можно показать, что среди прямых имеется ровно прямых, удовлетворяющих следующему условию. Существует не более одной вершины треугольника такой, что и эта вершина лежат по одну сторону от такой прямой. При этом оказывается, что каждая точка из отличная от , лежит на одной из таких прямых. На рис. 5.5.1 эти прямые обозначены жирными линиями.

Рис. 5.5.1

Пусть — уравнения этих прямых. Функция

является многочленом степени , равна 1 в точке и 0 в остальных точках . Поэтому многочлен степени

будет искомым.

В случае, когда при всех , многочлен будет интерполяционным многочленом по отношению к функции .

Задача 1. Показать, что значения многочлена на каждой из сторон треугольника зависят от значений , соответствующих точкам этой стороны.

Задача 2. Пусть Н — это длина максимальной из сторон треугольника некоторая гладкая функция,

— наименьший из углов треугольника. Получить оценку ,

где С — постоянная, зависящая только от и .

Задача 3. При выполнении условия задачи 2 для получить оценку

Задача 4. Исследовать поведение постоянных при в задачах 2 и 3 соответственно.

Описанный способ интерполяции широко используется при приближении функций двух переменных. Область G, где приближается функция, разбивается на треугольники с достаточно малой максимальной стороной. В каждом треугольнике функция приближается соответствующим интерполяционным многочленом степени . Если разбиение устроено так, что вершина одного треугольника не может быть внутренней точкой стороны другого треугольника, то полученная таким образом приближающая функция будет непрерывна в G (справедливость последнего утверждения следует из решения задачи 1).

В связи с неограниченным ростом постоянных при (см. задачу 4) разумное разбиение области G не должно содержать треугольников с очень малыми углами.

Задача 5. Построить аналог описанного выше способа интерполяции для задачи интерполяции функции в тетраэдре.

Замечание. В случае, когда две стороны треугольника или соответственно три ребра тетраэдра направлены вдоль координатных осей, интерполирующий многочлен может быть явно записан также с помощью аппарата разделенных разностей для функций многих переменных.