§ 1. Основные понятия теории метода сеток

На первых этапах практического решения задач для уравнений с частными производными применялись в основном вариационные и другие методы, где приближенное решение получается в виде некоторой аналитической формулы. При решении некоторых задач такие методы применяются и в настоящее время.

В последующий период наиболее актуальными для решения стали задачи ядерной проблематики и задачи динамики газа и жидкости, где подобные методы практически неприменимы. На решение этих задач были направлены усилия крупнейших математиков, что имело, в частности, своим следствием создание и широкое продвижение сеточных методов решения уравнений с частными производными. В настоящее время эти методы наряду с вариационно- и нроекционно-разностпыми (метод конечных элементов) являются наиболее распространенными. При решении задач сеточными методами мы получаем совокупность приближенных значений решения в некоторой конечной системе точек. В случае необходимости можно построить формулу (например, интерполяционную) для приближенного представления решения во всей области.

Рассмотрим простейший пример решения задачи сеточным методом. Пусть в полуполосе решается уравнение

при начальном и граничных условиях

Зададимся некоторыми шагами сетки ( - целое). Точки назовем узлами сетки ; пусть — приближения к значениям ,

— функции, определенные на сетке, со значениями и в узлах сетки. Если искомое решение исходной дифференциальной задачи есть гладкая функция, то выполняются соотношения

Исходя из этого можно сделать предположение, что решение системы

является приближением к точному решению исходной задачи. Значения решения системы можно находить последовательно при каждом следующим образом: нам заданы, при каждом величина - , значения при находим из (5), а затем — из (6).

Докажем теорему, показывающую, что сходимость приближенного решения сеточной задачи к решению дифференциальной при не обязательно имеет место. Пусть в области D с границей решается краевая задача

при граничных условиях

Фиксируем какую-либо точку Р в пространстве независимых переменных. Значение решения зависит от коэффициентов уравнения, правой части и функций .

Рассмотрим случай, когда уравнение (8) и граничные условия (9) линейные, и изучим вопрос о зависимости от значений функции .

В случае нелинейного уравнения или исследования зависимости от коэффициентов уравнения, которая является нелинейной, проводимые далее рассуждения требуют для своего обоснования некоторых дополнительных формальных построений.

Пусть — некоторый класс функций . Областью зависимости значения по граничному условию классе функций назовем множество точек , удовлетворяющих следующему соотношению: для любой окрестности точки Q найдутся две функции такие, что

1) вне этой окрестности;

2) если — решения задачи (8), (9) при одних и тех же и при соответственно, то .

При решении задачи (8), (9) методом сеток решение ищется в узлах некоторой сетки в пространстве независимых переменных. Будем считать, что сетка задается некоторым параметром , причем при измельчении сетки.

Если точка Р является узлом сетки, то при данном h решение сеточной задачи, аппроксимирующей исходную дифференциальную задачу, зависит от значений в некоторых точках границы . Множество этих точек обозначим через .

Теорема Куранта (об областях зависимости). Для того, чтобы для некоторых и всех при значения в точке Р решений сеточной задачи стремились к значению в точке Р решения дифференциальной задачи, необходимо выполнение следующего условия: все точки множества являются предельными для точек множеств , иначе говоря,

Доказательство. Предположим противное, т. е. что существует точка . Тогда имеется окрестность точки не содержащая точек множеств при . Возьмем функции соответствующие этой окрестности согласно приведенному выше определению области зависимости. Пусть — решения задачи (8), (9) при соответственно и . Пусть решение задачи (8), (9) при и заданных . Тогда будут решениями задачи (8), (9) при соответственно и тех же Значения решений сеточных задач при соответствующих и начальных и граничных условиях будут совпадать при Поскольку в то же время , то для одного из этих наборов граничных условий решение сеточной задачи не сходится к решению дифференциальной. Теорема доказана.

Рассмотрим пример применения этой теоремы. Пусть в полуплоскости решается задача Коши для уравнения при начальном условии . Зададимся сеткой с узлами в точках и заменим исходную дифференциальную задачу разностной:

Тогда значения при определяем последовательно из соотношения

Пусть при измельчении сетки . Тогда значения решения сеточной задачи в точке не зависят от начальных значений условий вне отрезка . Точное решение дифференциальной задачи есть . Поэтому в классе начальных условий, обладающих некоторым ограниченным числом производных, областью зависимости для дифференциальной задачи является точка . Таким образом, на основании теоремы Куранта необходимым условием сходимости в этом классе начальных условий является условие или, иначе, .

Заметим, что в случае рассматриваемой схемы это условие случайно оказывается и достаточным условием сходимости.

Кроме вопроса о сходимости при анализе разностных аппроксимаций возникает проблема анализа устойчивости получаемого результата относительно погрешностей в исходных данных задачи и при округлениях.

Проиллюстрируем сказанное на этом же примере. Пусть . Тогда значения определяются из рекуррентного соотношения

При решением сеточной задачи будет пусть теперь при . Пользуясь этим рекуррентным соотношением, получаем, что тогда в узлах сетки , принимает следующие значения:

Отсюда , т.е. с ростом разность между этим решением и решением катастрофически возрастает; поэтому при рассматривая схема не может быть признана пригодной для решения задачи в случае большого числа шагов также и вследствие большого влияния вычислительной погрешности.

Таким образом, при замене решения дифференциальной задачи решением ее разностной аппроксимации возникают следующие проблемы (аналогичные проблемам, возникавшим ранее при рассмотрении методов решения других задач):

1) сходится ли точное решение разностной задачи к решению дифференциальной;

2) насколько сильно изменяется решение разностной задачи, если при вычислениях допускаются некоторые погрешности.

Построим формальный математический аппарат, помогающий при решении этих проблем.

Будем рассматривать задачу (8), (9). Относительно будем считать, что — заданные части границы причем различные могут иметь непустое пересечение; — некоторые операторы; — заданные функции.

Определим некоторое множество точек в пространстве независимых переменных , которое назовем сеткой (как правило, выбирают так, чтобы оно принадлежало замкнутой области ). Точки множества называют узлами сетки. Обычно сетка, на которой отыскивается решение, зависит от нескольких параметров (в предыдущем примере от и h); однако во многих типичных случаях при дроблении сетки ее шаги связывают между собой каким-то законом вида .

Поэтому в дальнейших общих построениях и определениях для простоты мы указываем зависимость только от одного параметра .

Пусть — пространство функций , определенных в узлах сетки — оператор, преобразующий функции из , в функции, определенные на некотором множестве будем предполагать, что . Множество функций, определенных в точках , будем обозначать через . Для аппроксимации граничных условий (9) выбираются некоторые множества и в точках этих множеств определяются значения некоторых операторов над пространством функций . Пусть , пространство функций, определенных в точках множеств . Если и функция определена на множестве Y, то ее следом на множестве X называют функцию, определенную на множестве X и совпадающую там с . Если функция определена на некотором множестве, содержащем , то ее след на этом множестве будем обозначать .

Пусть - пространство, к которому мы относим решение задачи (8), (9); F — пространство правых частей ; - пространства функций, определенных на . Пусть в пространствах функций , определены нормы

Эти нормы называют согласованными, если при для любых достаточно гладких функций выполняются соотношения

Говорят, что сеточная функция сходится к решению задачи (8), (9), если

Исследование сходимости разностных аппроксимаций имеет смысл производить лишь в нормах, согласованных с некоторыми нормами в пространствах гладких функций. Если отказаться от требования согласованности норм, то условие сходимости иногда может перестать быть содержательным: в случае любой последовательности сеточных функций путем введения некоторого множителя, достаточно быстро убывающего при , в определение нормы можно добиться, чтобы эта последовательность сходилась к решению задачи .

Рассмотрим некоторую сеточную задачу

Говорят, что сеточная задача (10), (11) аппроксимирует дифференциальную задачу (8), (9), если выполняется следующее условие: при любых гладких

Проиллюстрируем приведенные определения на примере рассмотренной аппроксимации уравнения теплопроводности. Через D будем обозначать множество точек ; пусть -отрезок [0, 1] оси — полуинтервал (0, Т] оси , - полуинтервал (0, Т] прямой точки (0, 0), (1, 0) можно было бы отнести и к множествам соответственно. Если — целые, то через , обозначим множество точек - узлов , удовлетворяющих условиям . Определим сеточный оператор , соотношением

Тогда множество будет состоять из узлов таких, что в остальных узлах при , значения не будут определены. Если правую часть (13) обозначить как , то множество будет состоять из узлов таких, что . Правую часть сеточной задачи выберем в виде

Тогда величина , входящая в выражение , есть нуль. Это соотношение выполняется не для всех схем; например, из соображения повышения точности иногда разумнее было бы полагать правую часть разностной задачи в точке равной . В качестве согласованных норм при исследовании этой задачи обычно выбирают нормы

или же нормы

В дальнейшем для простоты изложения будем предполагать, что операторы , линейные.

В этом случае вводится следующее определение устойчивости (корректности) сеточной задачи (10), (11). Эту задачу называют устойчивой, если при существуют постоянные , не зависящие от h, такие, что

Как видно из определения, в случае линейной задачи в определение устойчивости не входят функции .

Посмотрим, какой смысл в этом определении. Для случая линейных задач разностная схема (10), (11) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений. Поэтому из (16) следует, что при система уравнений (10), (11) имеет лишь нулевое решение; поэтому на основании теоремы Кронекера-Капелли задача (10), (11) разрешима при любых правых частях . Таким образом, в случае линейной задачи из условия устойчивости следует однозначная разрешимость системы сеточных уравнений при любых правых частях. Если — решения сеточных задач

то при линейных , согласно (16) можно написать

Таким образом, в случае выполнения условия устойчивости решения сеточной задачи мало различаются друг от друга при малом изменении правых частей уравнения и граничных условий.

Пусть . Величину , называют погрешностью аппроксимации уравнения на решении задачи, а величины погрешностями аппроксимации граничных условий на задачи. Положим

Если - решение задачи (8), (9), то величину называют мерой гпогрешности аппроксимации разностной схемы (10), (11) дифференциальной задачи (8), (9) на решении. Если при и — решение (8), (9), то говорят, что (11), (12) аппроксимирует (8), (9) на решении задачи. Порядок величины при называют порядком аппроксимации на решении.

Выше обсуждалась проблема чувствительности реально получаемого приближенного решения сеточной задачи к округлениям в процессе вычисления этого решения, или, иначе, проблема устойчивости приближенного решения сеточной задачи к погрешностям округления. Решение этой проблемы тесно связано с решением вопроса об устойчивости разностной задачи. Дело в том, что округления, допускаемые при вычислениях, можно рассматривать как возмущения коэффициентов сеточной задачи.

Найдем связь между аппроксимацией, устойчивостью и сходимостью. Предположим, что сеточная аппроксимация (10), (11) удовлетворяет следующим условиям:

1) решение дифференциальной задачи удовлетворяет точно -сеточным граничным условиям

2) на классе функций из , удовлетворяющих однородным граничным условиям

выполняется условие устойчивости

Теорема Филиппова (о связи устойчивости, аппроксимации и сходимости). При сформулированных выгие условиях выполняется неравенство

Если разностная задача аппроксимирует дифференциальную, то

Доказательство. Поскольку при , то воспользуемся условием 2), подставив в него , вместо . Имеем

подставляя сюда и воспользовавшись определением , получаем (18). Если имеет место аппроксимация, т.е. при , то из (18) следует справедливость второго утверждения теоремы: .

В случае гладких решений исследование аппроксимации схемы на решении является относительно несложной задачей и теорема Филиппова перепосит центр тяжести на исследование устойчивости сеточной задачи.

Часто случается, что сеточная задача устойчива в одной норме, согласованной с некоторой дифференциальной нормой, но неустойчива в другой. Так может, например, обстоять дело в случае норм, определяемых равенствами (14), (15). В случае гладких решений для практической приемлемости схемы обычно достаточно устойчивости в какой-либо согласованной норме. В случае разрывных решений к разностным аппроксимациям часто предъявляются некоторые дополнительные требования относительно поведения их решений вблизи мест разрыва решений; в этих случаях часто недостаточно устойчивости в произвольной согласованной норме. Например, требование устойчивости в определенных нормах предъявляется в отношении аппроксимаций задач газовой динамики.

Если выполняется условие согласования, то при гладких , переходя к пределу в (16) при , получаем неравенство

Из этого соотношения следует корректность постановки дифференциальной задачи (8), (9). Такой путь — получение оценок (16), а из них оценок (19) - используется для исследования корректности дифференциальных задач вида (8), (9), для доказательства существования и единственности их решений.