§ 4. Ортогональные многочлены

решения ряда задач математической физики часто исследуют, отыскивая их разложения по ортогональным функциям, в частности по ортогональным многочленам. Наиболее подробно изучены ортогональные системы функций одной переменной. Из ортогональных систем функций многих переменных рассматривают, как правило, лишь системы вида , где — некоторые ортогональные многочлены одной переменной.

Пусть Н — пространство комплекснозначных функций, определенных на , с ограниченным интегралом

скалярное произведение задается равенством

где — функция, комплексно сопряженная с почти всюду на и ; функции, отличающиеся друг от друга на множестве меры 0, считаются равными.

Система ненулевых элементов из Н называется ортогональной, если при . Система называется линейно независимой, если

только тогда, когда все .

Важным аппаратом многих исследований является ортогонализация заданной системы элементов гильбертова пространства.

Лемма 1. Пусть в пространстве Н задана линейно независимая система элементов . Тогда можно построить ортогональную линейно независимую систему элементов вида

где .

Доказательство. Мы будем проводить построение такой системы методом индукции. При имеем тривиальную систему . Пусть требуемая система построена при некотором ; тогда элемент отыскиваем в виде

Коэффициенты выбираем из условия ортогональности при . Вследствие ортогональности системы элементов последнее соотношение представится в виде

откуда

следовательно, элемент

будет ортогонален всем предшествующим. Подставляя в (3)

при , получим требуемое соотношение. Лемма доказана.

Совокупность соотношений (2) при можно представить в виде

где

и являются вектор-столбцами из соответствующих элементов. В то же время, перенося все из правой части (4) в левую, получим

где

матрицу иногда называют матрицей ортогонализации. Так как , то преобразование, задаваемое матрицей является невырожденным и переводит линейно независимую систему элементов в линейно независимую систему .

В силу линейной независимости системы функций отсюда следует, что .

При построении ортогональных многочленов в качестве элементов системы функций берутся функции и производится ортогонализация в пространстве со скалярным произведением (1) по описанной выше процедуре. Получаемые многочлены

называют ортогональными многочленами, соответствующими весу и отрезку . Иногда, ортогональными многочленами, соответствующими весу , называют многочлены , в которых величины подбирают из каких-либо дополнительных соображений, например из условия . Систему ортогональных элементов, удовлетворяющих такому условию, называют ортонормированной.

Мы уже имели дело с системой многочленов Чебышева

ортогональных на отрезке с весом . Как отмечалось, значения этих многочленов можно вычислять по рекуррентной формуле

Вычисление значений ортогональных многочленов Чебышева при помощи формулы (7) более предпочтительно по сравнению с непосредственным вычислением их по явной формуле (6) по следующим причинам.

1. Вычисление по формуле (7) не требует хранения в памяти или вычисления коэффициентов .

2. Обычно требуется вычислять одновременно значения всех многочленов в одной и той же точке. При независимом вычислении значения каждого многочлена по формуле (6) вычисление значений всех многочленов потребует арифметических операций. (Здесь и далее означает, что и одного порядка, т. е. ).

При одновременном вычислении всех значений при помощи рекуррентного соотношения (7) потребуется арифметических операций.

3. Значения , получаемые при непосредственном вычислении по формуле (6), могут содержать большую вычислительную погрешность.

Дело заключается в следующем: пусть образуется как сумма слагаемых:

При записи в машине эти слагаемые смогут приобрести абсолютную погрешность порядка . Следствием этого может быть погрешность значения порядка , где

Оценим снизу . Из равенства

где i — мнимая единица, следует оценка

В то же время, согласно (2.8.4), при действительном имеем

Так как

то отсюда получаем

Таким образом, при больших и при непосредственном использовании формулы (8) вычислительная погрешность может достигать значений порядка .

Задача 1. Доказать равенство

Мы опять столкнулись здесь с явлением пропадания значащих цифр в вычислениях: но при вычислении значения из (8) оно получается как сумма больших по модулю слагаемых переменного знака и поэтому приобретает большую погрешность.

В то же время можно показать, что при вычислении по рекуррентной формуле (7) погрешность имеет порядок . Из изложенного видна важность получения рекуррентных соотношений типа (7), связывающих значения ортогональных многочленов, соответствующих и другим весовым функциям .

Справедлива

Теорема (без доказательства). Ортогональные многочлены

связаны соотношениями

где .

При вместо (9) имеем

Если отрезок конечен, то известно, что при . Приведем наиболее употребительные системы ортогональных многочленов, соответствующие различным весовым функциям.

1. Многочлены Якоби. Для отрезка и весовой функции , ортогональную систему образуют многочлены Якоби

Имеют место соотношения

здесь Г — гамма-функция Эйлера.

Многочлены Якоби удовлетворяют дифференциальному уравнению

Иначе говоря, они являются собственными функциями дифференциального оператора .

2. Многочлены Лежандра. Частным случаем многочленов Якоби при , т. е. при весовой функции являются многочлены Лежандра

с нормой

удовлетворяющие рекуррентному соотношению

3. Многочлены Чебышева первого рода. При многочлены Якоби после перенормировки превращаются в многочлены Чебышева первого рода .

4. Многочлены Чебышева второго рода. При многочлены Якоби после перенормировки превращаются в многочлены Чебышева второго рода

с нормой и . Рекуррентное соотношение для многочленов Чебышева второго рода такое же, как для многочленов Чебышева первого рода.

5. Многочлены Эрмита. При и ортогональную систему образуют многочлены Эрмита

с нормой

удовлетворяющие рекуррентному соотношению

Многочлены Эрмита удовлетворяют дифференциальному уравнению

6. Многочлены Лагерра. При и , , ортогональную систему образуют многочлены Лагерра

с нормой

Для них справедливо рекуррентное соотношение

Многочлены Лагерра удовлетворяют дифференциальному уравнению

Рекуррентные соотношения для конкретных ортогональных многочленов, выписанные в пп. 2-5, имеют несколько иной вид, чем (9), поскольку соотношение (9) выписано для ортогональных многочленов, нормированных так, что их старший коэффициент равен 1.

Отметим ряд свойств ортогональных многочленов. Пусть - система ортогональных многочленов на отрезке вида

Лемма. Каждый многочлен имеет ровно различных нулей на открытом интервале .

Доказательство. Предположим, что имеет на только нулей нечетной кратности. Тогда многочлен

не меняет знак на , поэтому

С другой стороны, этот интеграл равен нулю, поскольку ортогонален всем многочленам меньшей степени. Получили противоречие.

Задача 2. Пусть - нули . Тогда нули многочленов и перемежаются, т.е.

Это свойство ортогональных многочленов используется при составлении таблиц нулей ортогональных многочленов, являющихся узлами квадратур Гаусса.

Задача 3. Пусть вес является четной функцией относительно середины отрезка и, для определенности, , т.е. . Доказать, что все многочлены четные, многочлены нечетные, т. е.

и рекуррентное соотношение (9) имеет вид

При обработке результатов наблюдений возникает задача приближения функций, заданных на множестве точек вещественной оси с помощью многочленов от переменной . Эта задача часто решается с помощью ортогональных многочленов дискретной переменной. В теории таких многочленов установлены их свойства, аналогичные свойствам ортогональных многочленов непрерывной переменной; построены дискретные аналоги для всех рассмотренных выше типов ортогональных многочленов непрерывной переменной.

Отметим одно важное свойство распределения нулей ортогональных многочленов. Пусть , вес почти всюду положителен на . Обозначим через число нулей многочлена , принадлежащих отрезку . Тогда справедливо соотношение

Таким образом, нули ортогональных многочленов независимо от весовой функции распределены асимптотически одинаково, с плотностью .