Численные методы
ОглавлениеПредисловиеВведение Глава 1. Погрешность результата численного решения задачи § 1. Источники и классификация погрешности § 2. Запись чисел в ЭВМ § 3. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных § 4. О вычислительной погрешности § 5. Погрешность функции § 6. Обратная задача Глава 2. Интерполяция и численное дифференцирование § 1. Постановка задачи приближения функций § 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа § 3. Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа § 4. Разделенные разности и их свойства § 5. Интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями § 6. Разделенные разности и интерполирование с кратными узлами § 7. Уравнения в конечных разностях § 8. Многочлены Чебышева § 9. Минимизация оценки остаточного члена интерполяционной формулы § 10. Конечные разности § 11. Интерполяционные формулы для таблиц с постоянным шагом § 12. Составление таблиц § 13. О погрешности округления при интерполяции § 14. Применения аппарата интерполирования. Обратная интерполяция § 15. Численное дифференцирование § 16. О вычислительной погрешности формул численного дифференцирования § 17. Рациональная интерполяция Глава 3. Численное интегрирование § 1. Простейшие квадратурные формулы. Метод неопределенных коэффициентов § 2. Оценки погрешности квадратуры § 3. Квадратурные формулы Ньютона—Котеса § 4. Ортогональные многочлены § 5. Квадратурные формулы Гаусса § 6. Практическая оценка погрешности элементарных квадратурных формул § 7. Интегрирование быстро осциллирующих функций § 8. Повышение точности интегрирования за счет разбиения отрезка на равные части § 9. О постановках задач оптимизации § 10. Постановка задачи оптимизации квадратур §11. Оптимизация распределения узлов квадратурной формулы § 12. Примеры оптимизации распределения узлов § 13. Главный член погрешности § 14. Правило Рунге практической оценки погрешности § 15. Уточнение результата интерполяцией более высокого порядка точности § 16. Вычисление интегралов в нерегулярном случае § 17. Принципы построения стандартных программ с автоматическим выбором шага Глава 4. Приближение функций и смежные вопросы § 1. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве § 2. Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве и вопросы, возникающие при его практическом построении § 3. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье § 4. Быстрое преобразование Фурье § 5. Наилучшее равномерное приближение § 6. Примеры наилучшего равномерного приближения § 7. О форме записи многочлена § 8. Интерполяция и приближение сплайнами Глава 5. Многомерные задачи § 1. Метод неопределенных коэффициентов § 2. Метод наименьших квадратов и регуляризация § 3. Примеры регуляризации § 4. Сведение многомерных задач к одномерным § 5. Интерполяция функций в треугольнике § 6. Оценка погрешности численного интегрирования на равномерной сетке § 7. Оценка снизу погрешности численного интегрирования § 8. Метод Монте-Карло § 9. Обсуждение правомерности использования недетерминированных методов решения задач § 10. Ускорение сходимости метода Монте-Карло § 11. О выборе метода решения задачи Глава 6. Численные методы алгебры § 1. Методы последовательного исключения неизвестных § 2. Метод отражений § 3. Метод простой итерации § 4. Особенности реализации метода простой итерации на ЭВМ § 5. Процесс практической оценки погрешности и ускорения сходимости § 6. Оптимизация скорости сходимости итерационных процессов § 7. Метод Зейделя § 8. Метод наискорейшего градиентного спуска § 9. Метод сопряженных градиентов § 10. Итерационные методы с использованием спектрально-эквивалентных операторов § 11. Погрешность приближенного решения системы уравнений и обусловленность матриц. Регуляризация § 12. Проблема собственных значений § 13. Решение полной проблемы собственных значений при помощи QR-алгоритма Литература Глава 7. Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации § 1. Метод простой итерации и смежные вопросы § 2. Метод Ньютона решения нелинейных уравнений § 3. Методы спуска § 4. Другие методы сведения многомерных задач к задачам меньшей размерности § 5. Решение стационарных задач путем установления § 6. Как оптимизировать? Глава 8. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений § 1. Решение задачи Коши с помощью формулы Тейлора § 2. Методы Рунге—Кутта § 3. Методы с контролем погрешности на шаге § 4. Оценки погрешности одношаговых методов § 5. Конечно-разностные методы § 6. Метод неопределенных коэффициентов § 7. Исследование свойств конечно-разностных методов на модельных задачах § 8. Оценка погрешности конечно-разностных методов § 9. Особенности интегрирования систем уравнений § 10. Методы численного интегрирования уравнений второго порядка § 11. Оптимизация распределения узлов интегрирования Глава 9. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений § 1. Простейшие методы решения краевой задачи для уравнений второго порядка § 2. Функция Грина сеточной краевой задачи § 3. Решение простейшей краевой сеточной задачи § 4. Замыкания вычислительных алгоритмов § 5. Обсуждение постановок краевых задач для линейных систем первого порядка § 6. Алгоритмы решения краевых задач для систем уравнений первого порядка § 7. Нелинейные краевые задачи § 8. Аппроксимации специального типа § 9. Конечно-разностные методы отыскания собственных значений § 10. Построение численных методов с помощью вариационных принципов § 11. Улучшение сходимости вариационных методов в нерегулярном случае § 12. Влияние вычислительной погрешности в зависимости от формы записи конечно-разностного уравнения Глава 10. Методы решения уравнений в частных производных § 1. Основные понятия теории метода сеток § 2. Аппроксимация простейших гиперболических задач § 3. Принцип замороженных коэффициентов § 4. Численное решение нелинейных задач с разрывными решениями § 5. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения § 6. Разностная аппроксимация эллиптических уравнений § 7. Решение параболических уравнений с несколькими пространственными переменными § 8. Методы решения сеточных эллиптических уравнений Литература Глава 11. Численные методы решения интегральных уравнений § 1. Решение интегральных уравнений методом замены интеграла квадратурной суммой § 2. Решение интегральных уравнений с помощью замены ядра на вырожденное § 3. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода Заключение Список литературы |
