§ 4. Разделенные разности и их свойства

Как будет видно далее, интерполяционный многочлен можно рассматривать как обобщение отрезка ряда Тейлора.

Обобщением понятия производной является понятие разделенной разности. Разделенные разности нулевого порядка совпадают со значениями функции разности первого порядка определяются равенством

разности второго порядка — равенством

и, вообще, разности порядка определяются через разности порядка по формуле

Иногда вместо используют обозначения или .

Лемма. Справедливо равенство

Доказательство будем проводить по индукции. При это равенство превращается в равенство , при совпадает с (1). Пусть (3) доказано при . Тогда

Если , то коэффициент при в правой части есть

т.е. имеет требуемый вид; для или значение входит только в одно слагаемое в правой части, и коэффициент при нем также имеет требуемый вид. Доказательство закончено.

Непосредственно из (3) вытекает ряд следствий.

1. При фиксированных разделенная разность является линейным функционалом от функции :

2. Разделенная разность есть симметрическая функция своих аргументов (т.е. не меняется при любой их перестановке).

Если функция задана в точках , то таблицу

называют таблицей разделенных разностей.