§ 6. Алгоритмы решения краевых задач для систем уравнений первого порядка

В дальнейшем, в § 6-8, предполагается, что рассматриваемая краевая задача хорошо обусловлена.

Простейшим по форме методом решения краевой задачи (5.1) является метод стрельбы. Рассмотрим систему уравнений

Поскольку по предположению ранг матрицы В равен то общее решение системы (1) записывается в виде

здесь — произвольное решение неоднородной системы — произвольная система линейно независимых решений системы . Пусть набор таких векторов.

Численным интегрированием найдем частное решение неоднородной системы

при начальном условии и решения однородной системы

при начальных условиях . Пусть удовлетворяет (2) и левому граничному условию (1). Вектор является решением (1), и поэтому его можно записать в виде

вектор-функция

удовлетворяет уравнению (2) и совпадает с при . Следовательно,

Всякая функция вида (4) удовлетворяет соотношениям (1) и (2). Таким образом, многообразие всех решений (2), удовлетворяющих левому граничному условию (1), задается равенством (4). Чтобы найти искомое решение, надо выделить из этого многообразия решение, удовлетворяющее правому граничному условию. Определим коэффициенты из системы уравнений с неизвестными

В предположении однозначной разрешимости задачи (5.1) определитель этой системы отличен от нуля. Действительно, предположив противное, мы получили бы, что однородная краевая задача имеет ненулевое решение

Если — решение системы (5), то вектор-функция

удовлетворяет уравнению и всем граничным условиям и, следовательно, является решением искомой задачи.

При необходимости экономить память ЭВМ следует найти

или

и затем решить численно задачу Коши вперед или назад.

Если среди решений однородной системы есть быстро растущие с ростом X, то столь же быстро может возрастать вычислительная погрешность в решениях . В этом случае алгоритм метода стрельбы окажется непригодным для практического использования. По-другому практическую непригодность метода стрельбы в этом случае можно объяснить следующим образом. Пусть метод стрельбы применяется при . Обозначим через собственные векторы и соответствующие собственные значения матрицы А, причем пусть . Предположим, что

тогда

Если , то

Таким образом, все столбцы матрицы системы (5) оказываются приблизительно пропорциональными вектору , поэтому решение этой системы , будет найдено с большой вычислительной погрешностью.

Рассматриваемую задачу можно трактовать как задачу выделения из многообразия

вектора, удовлетворяющего правому граничному условию

При каждом фиксированном множество концов векторов вида (4) образует -мерную плоскость в -мерном пространстве; плоскость задается концом вектора , лежащим в этой плоскости, и векторами , лежащими в ней. Если бы эти векторы задавались точно, то было бы несущественно, какими векторами задавать плоскость.

Однако вследствие погрешностей в значениях этих векторов эта плоскость будет несколько смещена и повернута. Предположим, что исходная краевая задача хорошо поставлена и соответственно норма вектора в каждой точке невелика. В рассматриваемом случае при больших значениях вектор имеет большую норму, а векторы примерно пропорциональны. Небольшие возмущения и векторов приведут к существенному изменению положения плоскости в области относительно небольших значений , т.е. там, где находятся значения точного решения. Поэтому при таком способе задания многообразия (4) существенно теряется информация о решении.

Чтобы положение плоскости в области небольших значений норм векторов , где находится решение, было устойчиво к погрешностям такого способа ее задания, представляется целесообразным задавать плоскость точкой, являющейся проекцией на нее начала координат, или точкой, близкой к ней, и некоторым множеством векторов, лежащих в этой плоскости и образующих ортогональный репер или близкий к таковому. Существо наиболее распространенных методов прогонки решения задачи (5.1) состоит в непрерывном или дискретном (в отдельных точках отрезка) переходе к заданию многообразия (4) при помощи точки проекции начала координат на эту плоскость и ортогонального репера, лежащего в этой плоскости.

В одном из вариантов метода прогонки (метод Годунова) поступают следующим образом. Отрезок интегрирования разбивается на части точками . Пусть на отрезке решение задачи отыскивалось в виде линейной комбинации

здесь - решение неоднородной системы (2); — решения однородной системы (3). Путем последовательной ортогонали-зации и нормировки векторов , получают систему ортонормированных векторов . Полагают

т.е. вычитают из вектора его проекцию на плоскость, натянутую на векторы . Далее опять на отрезке ищут , как решения систем (2) и (3) соответственно. После получения такого представления решения в точке X находят решение задачи на отрезке , воспользовавшись граничным условием в точке .

Далее, пользуясь формулами перехода между совокупностями векторов

последовательно находят решение на отрезках . Точки выбираются из условия, чтобы система векторов была близка ортонормированной, а вектор не образовывал слишком малый угол с подпространством, натянутым на этот базис. Поскольку векторы образуют ортонормированную систему, а вектор ортогонален к ним. сформулированные условия выполнены при достаточно малой величине .

Заметим, что в отличие от подробно рассмотренного в § 3.4 метода прогонки для дифференциального уравнения второго порядка методы прогонки, основанные на идее ортогопализации, при достаточно малой величине оказываются слабо чувствительными к влиянию вычислительной погрешности для любых хорошо определенных краевых задач.

Непрерывный аналог описанного выше метода ортогональной прогонки Годунова заключается в следующем: находится матрица размерности , столбцы которой образуют ортонормированную систему решений системы уравнений , и вектор ортогональный к этим векторам, удовлетворяющий системе уравнений .

При начальных условиях решается задача Коши для системы уравнений

верхняя треугольная матрица R определяется равенством

Совокупность этих вычислений называют прямым ходом метода прогонки.

В этом методе вектор при каждом минимизирует среди значений этой нормы у решений системы , удовлетворяющих левому граничному условию.

Так называемый обратный ход метода прогонки заключается в следующем. Определяется вектор размерности — решение системы уравнений и при заданном решается в направлении убывания задача Коши для системы уравнений

Само решение задачи вычисляется по формуле

Возможен и такой вариант действий. Аналогично найденным в процессе прямого хода метода прогонки функциям , которые мы обозначим как , находятся функции , соответствующие граничным условиям на правом конце отрезка интегрирования.

Значения решения в каждой точке находятся из системы уравнений относительно неизвестных значений :

Здесь — векторы-столбцы размерности и соответственно.

Часто удобнее применить следующий метод ортогональной прогонки Абрамова. Краевые условия преобразуются к виду

такому, чтобы строки матриц В и D образовывали ортонормированные системы векторов, т. е. выполнялись равенства здесь Е — единичные матрицы размерностей соответственно.

На отрезке [0,1] решаются задачи Коши для системы уравнений

при начальных условиях в направлении возрастания и при начальных условиях в направлении убывания . Полученные решения обозначаются, соответственно,

Решение задачи в каждой точке находится из системы уравнений

В этом методе строки матрицы Z образуют наиболее медленно изменяющийся базис ортогонального дополнения к этому пространству.

Упомянем ряд фактов, свидетельствующих об определенных «хороших» свойствах указанных методов.

Для этих методов выполняются, соответственно, равенства

(12)

Для первого метода выполнены неравенства ; здесь — евклидова норма вектора. Для второго метода выполнено неравенство .

Вследствие равенств (12) возникает соблазн отказаться от обращения матриц или . Такое упрощение часто приводит к нежелательному росту погрешности.