§ 6. Примеры наилучшего равномерного приближения

1. Непрерывная на функция приближается многочленом нулевой степени. Пусть

Многочлен является многочленом наилучшего приближения, а — точками чебышевского альтернанса.

Задача 1. Доказать, что наилучшее приближение нулевой степени имеет вид , если не обязательно непрерывна.

2. Непрерывная, выпуклая на отрезке функция приближается многочленом первой степени . Вследствие выпуклости разность может иметь на интервале только одну точку экстремума, поэтому точки являются точками чебышевского альтернанса. Пусть d — третья точка чебышевского альтернанса. Согласно теореме Чебышева, имеем равенства

Вычитая первое уравнение из третьего, получим . Отсюда находим . Для определения неизвестных и или получено всего три уравнения. Однако следует вспомнить, что точка d является точкой экстремума разности . Если дифференцируемая функция, то для определения d имеем уравнение . Теперь определяем , например из уравнения, получающегося сложением первого и второго уравнений. Геометрически эта процедура выглядит следующим образом (рис. 4.6.1). Проводим секущую через точки . Для нее тангенс угла наклона равен . Проводим параллельную ей касательную к кривой , а потом прямую, равноудаленную от секущей и касательной.

Рис. 4.6.1.

Задача 2. Построить пример функции и соответствующего многочлена первой степени наилучшего равномерного приближения на так, чтобы среди точек чебышевского альтернанса не было точек а и .

Задача 3. Построить пример функции (естественно, не непрерывной), для которой многочлен наилучшего равномерного приближения не удовлетворяет условиям теоремы Чебышева.

Задача 4. Пусть . Построить многочлен наилучшего равномерного приближения первой степени.

3. Функция , удовлетворяющая условию приближается на многочленом наилучшего равномерного приближения степени ; требуется оценить величину . В § 9 гл. 2 мы имели оценку погрешности интерполяции по узлам, являющимся нулями многочлена Чебышева:

а именно,

Отсюда следует неравенство

Пусть — многочлен наилучшего равномерного приближения. Поскольку вследствие теоремы Чебышева разность меняет знак при переходе от одной точки чебышевского альтернанса к другой, то она обращается в нуль в точке .

Поэтому многочлен можно рассматривать как интерполяционный с узлами интерполяции . Согласно (2.3.1) имеем представление для погрешности интерполирования следующего вида:

где . Пусть

Имеем

Согласно (2.8.6) выполняется неравенство

Отсюда следует оценка

Таким образом, если сохраняет знак и меняется не очень сильно, то разность между погрешностью многочлена наилучшего равномерного приближения и интерполяционного многочлена по нулям многочленов Чебышева несущественна.

Задача 5. Доказать, что в случае, когда сохраняет знак на отрезке , чебышевский альтернанс содержит точки а и .

4. Рассмотрим задачу нахождения многочлена наилучшего приближения степени в случае, когда

Тогда и оценки сверху (1) и снизу (2) для совпадают:

Таким образом, многочленом наилучшего приближения оказывается интерполяционный многочлен с узлами интерполяции

Можно получить другое представление этого многочлена наилучшего приближения, записав его в виде

Действительно, выражение в правой части является многочленом степени , поскольку коэффициент при равен нулю. Точки , образуют чебышевский альтернанс.

5. Пусть и — нечетная функция относительно точки . Покажем, что здесь многочлен наилучшего приближения любой степени нечетен, т. е. записывается в виде суммы нечетных степеней . Действительно, пусть многочлен наилучшего приближения для . Имеем . После замены на и умножения выражения под знаком модуля на —1 получим

иначе

Следовательно, многочлен также является многочленом наилучшего равномерного приближения. По теореме единственности имеем , что и требовалось доказать.

6. Пусть требуется приблизить функцию на отрезке многочленом наилучшего приближения первой степени. Предшествующим результатом можно воспользоваться двояко. Один путь: поскольку искомый многочлен наилучшего приближения будет нечетным, то его достаточно отыскивать среди многочленов вида . Второй путь: поскольку многочлен наилучшего приближения второй степени для данной задачи оказывается многочленом первой степени, то исходная задача эквивалентна задаче построения многочлена наилучшего приближения второй степени. Последняя задача наилучшего приближения многочлена многочленом степени, на единицу меньшей, уже нами рассматривалась.

Задача 6. Пусть - четная функция относительно середины отрезка приближения . Доказать, что многочлен наилучшего приближения четен.

Задача 7. Функцию приблизить на отрезке многочленом наилучшего приближения третьей степени.

Примечание. Из решения предыдущей задачи следует, что этот многочлен имеет вид . Задача эквивалентна задаче наилучшего приближения функции на отрезке [0, 1] многочленом вида .

7. Очень часто бывает, что многочлен наилучшего равномерного приближения точно найти не удается. В этих случаях ищется многочлен, близкий к многочлену наилучшего приближения.

Рассмотрим примеры такого рода. Для простоты рассматриваем случай приближения на отрезке . Разложим функцию в ряд по ортогональной системе многочленов Чебышева:

Отрезок этого ряда

невысокой степени часто обеспечивает неплохое равномерное приближение. Иногда бывает затруднительно вычислить явно коэффициенты , но зато известно разложение Тейлора

сходящееся при . Тогда применяют следующий метод (называемый иногда телескопическим). Выбирают некоторое такое, что погрешность формулы

является достаточно малой. Затем приближают многочлен многочленом наилучшего равномерного приближения . Согласно формуле (3) имеем

Поскольку на отрезке , то

Далее приближают многочлен многочленом наилучшего равномерного приближения и т. д. Понижение продолжается до тех пор, пока погрешность от таких последовательных аппроксимаций остается малой. Рассматриваемый прием можно описать еще и следующим образом. Разложим многочлен но многочленам Чебышева:

Введем обозначения при .

Всякий многочлен является многочленом наилучшего равномерного приближения степени для многочлена , при этом

Это следует, например, формулы (3) или непосредственно из теоремы Чебышева. Отсюда вытекает, что и т.д.

Таким образом, сущность описанного метода заключается в следующем. Исходная функция приближается отрезком ее ряда Тейлора . Затем многочлен раскладывается на многочлены Чебышева и отбрасываются несколько последних членов разложения. Так как

то общая оценка погрешности такова:

Рассмотрим задачу приближения функции : на отрезке с точностью . Для достижения такой точности при аппроксимации отрезком ряда Тейлора требуется положить

Приблизим полученный многочлен многочленом наилучшего приближения степени, на единицу меньшей. Повторяя данную процедуру три раза, получим многочлен

также обеспечивающий требуемую точность. Отметим, что здесь из-за нечетности исходного многочлена показатель степени на каждом шаге уменьшался на 2.

Задача 8. Пусть функция непрерывна на отрезке :

Доказать, что

Задача 9. Пусть

Доказать, что

Многочлены наилучшего равномерного приближения или близкие к ним используются как важный составной элемент в стандартных программах вычисления элементарных и специальных функций. Часто возникает ситуация, когда функция задается очень сложным явным выражением (например, в виде интеграла ), а по ходу решения конкретной задачи ее значение приходится вычислять в очень многих точках.

В этом случае часто полезно вместо непосредственного вычисления значений функции воспользоваться интерполяцией ее значений по таблице или приблизить функцию многочленом. Иногда для этой цели используют многочлены наилучшего приближения в норме или наилучшего равномерного приближения. Конечно, в каждом конкретном случае полезно посмотреть, оправдают ли себя затраты по построению приближающего многочлена.