Глава 9. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

При решении краевых задач возникают дополнительные трудности по сравнению со случаем решения задачи Коши: значительно сложнее исследуется вопрос о существовании решения: после написания сеточной задачи возникает система линейных или нелинейных уравнений, проблема решения которой требует дополнительного изучения.

§ 1. Простейшие методы решения краевой задачи для уравнений второго порядка

Среди краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений существенную часть составляют задачи для уравнений и систем второго порядка. В частности, такие задачи возникают в баллистике, теории упругости и т. д.

Начнем изучение вопроса с одной частной, но довольно распространенной краевой задачи. Ищется решение уравнения

при граничных условиях

Зададимся шагом целое; точки примем за узлы сетки; как обычно, — приближения к значениям . После замены производной на разностное отношение

получаем систему уравнений

здесь граничные условия заменим соотношениями

Покажем, что при система уравнений (3), (4) имеет решение, и дадим оценку погрешности.

Лемма 1. Пусть . Тогда при всех . Доказательство. Обозначим через d. Предположим, что и, следовательно, . Пусть q — наименьшее целое такое, что из определения d и q имеем . Тогда

и мы приходим к противоречию с предположением .

Лемма 2. Если , то для любой функции выполняется неравенство

где

Доказательство. Введем в рассмотрение функцию

Для многочлена второй степени величина совпадает со второй производной, поэтому . Из явного вида следует, что , поэтому

Имеем

Функции удовлетворяют условиям леммы 1, поэтому . Отсюда следует оценка . Имеем неравенства

Поэтому

Лемма доказана.

Рассмотрим случай, когда функции дважды непрерывно дифференцируемы. В курсе дифференциальных уравнений доказывается, что тогда решение четырежды непрерывно дифференцируемо.

Пусть — погрешность аппроксимации, соответствующая конечно-разностной схеме (3):

Поскольку , то

Из оценок погрешности формул численного дифференцирования (§ 2 15) имеем

Из-за округления получаемые в процессе вычислений приближения к значениям удовлетворяют системе (3), (4) с некоторыми погрешностями

Вычитая (5) из (7), получим уравнение

относительно погрешности приближенного решения . Воспользовавшись леммой 2, получим

Согласно оценке (6) имеем

Таким образом, окончательная оценка погрешности имеет вид

Мы видим, что при повышении точности, с которой удовлетворяются граничные условия и разностное уравнение, при одновременном стремлении шага к нулю решение сеточной задачи сближается с решением дифференциальной задачи.

Описанный метод дает приближенное решение, сходящееся к точному со скоростью . Займемся построением более точных схем. Будем предполагать, что функции непрерывно дифференцируемы четыре раза, тогда решение задачи непрерывно дифференцируемо шесть раз.

Еще раз рассмотрим выражение

Подставим сюда представление с помощью формулы Тейлора:

и получим

Вычтем из слагаемое, аппроксимирующее величину полученной схеме соответствует погрешность аппроксимации более высокого порядка. Например, можно приблизить выражением

получится конечно-разностная схема

Эту схему можно также построить непосредственно, заменив производную выражением , приближающим ее с погрешностью .

Уравнение (9) содержит пять неизвестных с ненулевыми коэффициентами. Решение системы, состоящей из уравнений (9) и уравнений, получающихся при аппроксимации граничных условий, более трудоемко, чем решение системы (3). Исходя из других соображений, построим конечно-разностную схему с погрешностью аппроксимации такую, что в каждое уравнение входят только три неизвестных.

Дифференцируя дважды исходное уравнение, имеем , поэтому

Вычитая из исходной схемы приближение для , получим схему

или

Этот метод совпадает с методом Нумерова.

В предположении, что решение непрерывно дифференцируемо восемь раз, рассмотрим погрешность аппроксимации новой схемы . Учитывая, что , получим

Воспользовавшись формулой Тейлора, аналогично (8) получаем равенство

Построим приближение величины посредством значений . Таких приближений можно написать очень много, например следующим образом. Согласно уравнению (1)

поэтому справедливо приближенное равенство

Прибавляя к выражение, приближающее , получим конечно-разностную схему с погрешностью аппроксимации при этом в каждое уравнение получившейся алгебраической системы входят только три неизвестных .

Для практической оценки погрешности решения краевой задачи может применяться правило Рунге. Законность его применения основывается на существовании главного члена погрешности.

Задача 1. Пусть функции четырежды дифференцируемы. Доказать, что для решения задачи (3), (4) справедливо соотношение

здесь решение краевой задачи

Аналогичный прием последовательного повышения порядка погрешности аппроксимации может быть применен и по отношению к аппроксимациям граничного условия.

Рассмотрим случай граничного условия . Дискретное приближение высокой точности к такому граничному условию можно получить непосредственно, заменив производную по какой-либо формуле численного дифференцирования высокой точности:

Однако погрешность аппроксимации будет меньше и решение возникающей алгебраической системы представит меньше трудностей, если идти по описанному выше пути последовательного повышения порядка точности аппроксимации.

Заменим производную отношением . Тогда получим . Подставляя в разложение , имеем

Таким образом, погрешность аппроксимации граничного условия есть . Поскольку, согласно уравнению (1),

то уравнению

соответствует второй порядок аппроксимации. Подставляя в разложение , получим . После дифференцирования исходного уравнения (1) имеем

поэтому с учетом граничного условия справедливо равенство

Разностному уравнению

будет соответствовать уже третий порядок аппроксимации.

Можно было бы сразу написать равенство

затем выразить производные через и, вычитая из разностной схемы соответствующее выражение, получить уравнение . Однако мы обратили основное внимание именно на способ последовательного повышения порядка точности, поскольку его перенесение на случай уравнений в частных производных является наиболее простым и естественным.