§ 2. Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве и вопросы, возникающие при его практическом построении

Для гильбертова пространства элемент наилучшего приближения единствен (см. задачу 1.2) и проблема его нахождения формально сводится к решению системы линейных уравнений.

Наиболее простой способ получения этой системы следующий. По определению коэффициенты элемента наилучшего приближения реализуют минимум выражения

Приравнивая нулю производные по и получаем искомую систему уравнений для определения . Вследствие существования и единственности элемента наилучшего приближения, эта система имеет единственное решение.

Построим эту систему и исследуем вопрос о единственности ее решения несколько другим способом.

Для простоты изложения ограничимся случаем вещественных и Пусть , - вещественные числа; имеем . Положим

Если и вещественны, то , поэтому

Согласно (1) имеем равенство

Отсюда следует, что

В то же время

поскольку в правой части берется нижняя грань по более широкому множеству всевозможных параметров , а в левой - по множеству вещественных параметров. Из (2) и (3) следует, что исходная задача сводится к нахождению

В точке минимума должны выполняться условия Имеем

Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно коэффициентов , соответствующих элементу наилучшего приближения

Задача 1. Доказать, что коэффициенты , соответствующие элементу наилучшего приближения, являются решением (4) и в том случае, когда и не обязательно вещественны.

Матрица называется матрицей Грама системы элементов . Поскольку , то матрица Грама является эрмитовой.

Лемма. Если элементы линейно независимы, то матрица положительно определена.

Доказательство. Пусть — произвольный вектор с вещественными компонентами. Имеем равенство

Последнее выражение совпадает с , поэтому

Если элементы линейно независимы, то только в том случае, когда все . Таким образом, если и согласно определению матрица является положительно определенной. Поскольку матрица положительно определена, то ее определитель отличен от нуля и, следовательно, система (4) имеет единственное решение.

Задача 2. Доказать неравенство

При практическом приближении функций нужно проявлять осторожность при выборе системы функций . Оказывается, что при неудачном выборе такой системы вычислительная погрешность коэффициентов может достигать катастрофических размеров, и с добавлением новых функций получаемое «наилучшее» приближение будет все хуже приближать заданную функцию.

Дело заключается в следующем. Матрица при неудачном выборе системы функций имеет большой разброс собственных значений, т. е. отношение максимального (по модулю) собственного значения к наименьшему (по модулю) велико; вычислительная погрешность при решении систем с такой матрицей возрастает по крайней мере пропорционально этому разбросу. Например, в случае отрезка , веса для системы функций разброс собственных значений матрицы превосходит , где a, b — некоторые положительные постоянные. Более детальный анализ задачи показывает, что в качестве систем функций целесообразно брать системы ортонормированных по отношению к некоторому, возможно другому, скалярному произведению, функций или в каком-то смысле близких к ним.

Если элементы образуют ортонормированную систему , то система (4) приобретает вид

Тогда наилучшее приближение записывается в форме

и имеется следующее удобное представление для величины :

Поскольку то из равенства

следует, в частности, известное неравенство Бесселя

Если исходные элементы не образуют ортонормированной системы, то, вообще говоря, их можно ортогонализовать при помощи рассматривавшегося в гл. 3 алгоритма ортогонализации. Однако применение этого алгоритма довольно часто приводит к неудовлетворительным результатам. Например, при построении на отрезке ортонормированной с весом системы функций из указанной выше системы функций будут получены некоторые ортогональные многочлены , сумма модулей коэффициентов у которых растет не медленнее чем , где а определяется через . Если в дальнейшем значения многочленов вычисляются по явной формуле , то из-за большой величины суммы модулей коэффициентов будет большая погрешность в значениях самих многочленов. Для устойчивого вычисления значений многочленов нужно применить какой-то иной алгоритм, например вычислять их по рекуррентным формулам или по явным формулам типа в случае многочленов Чебышева. Некоторые более детальные сведения по этому вопросу будут приведены в § 8.

Пусть нам требуется приблизить функцию двух переменных в некоторой области G на плоскости . Явный вид ортогональных функций известен только для простейших областей. Можно применить следующий прием. Возьмем некоторую область , для которой известна ортогональная система функций, и продолжим в области . Далее будем приближать в области G с помощью этой системы. Такой прием иногда неэффективен, поскольку не удается легко построить достаточно гладкое продолжение функции в области , а при недостаточно гладком продолжении приближение будет плохим. Следствием как этого обстоятельства, так и того, что приближение ищется в большей области, часто является неоправданное увеличение значения , нужного для достижения заданной точности.

Другой возможный прием сведения к известной ортогональной системе функций состоит в следующем. Возьмем некоторую область с известной ортогональной системой . Пусть отображение переводит область в обратное отображение. Будем приближать функцию в области линейными комбинациями .

При приближении функций большого числа переменных не удается указать методов, пригодных во всех случаях. В каждой конкретной ситуации надо учитывать специфику задачи (вид функции, геометрию области и т.п.).

Рассмотрим для иллюстрации задачу другого рода, при решении которой используются проводимые выше построения. Пусть требуется построить интерполяционный многочлен степени N — 1 с узлами интерполяции . Пусть эти узлы являются нулями степени N из ортонормированной системы многочленов , соответствующей весу . Например, можно строить интерполяционные многочлены по нулям многочленов Чебышева, о которых шла речь в гл. 2. Будем отыскивать интерполяционный многочлен в виде линейной комбинации

При многочлен имеет степень не выше Поэтому квадратура Гаусса с N узлами точна для этого многочлена:

Таким образом, векторы при образуют ортонормированную систему относительно скалярного произведения

и вектор может быть разложен по этой системе векторов:

где . Многочлен

будет искомым.

Таким образом, построение интерполяционного многочлена с узлами интерполяции, соответствующими корням ортогонального многочлена, сводится к вычислению коэффициентов разложения функции по системе ортогональных многочленов. После этого искомый интерполяционный многочлен вычисляется по формуле (9). Этот алгоритм будет более устойчив по отношению к погрешностям округления по сравнению с непосредственным построением интерполяционного многочлена Лагранжа.