§ 7. Уравнения в конечных разностях

Конечно-разностными уравнениями называют уравнения относительно функций дискретного переменного. Такие уравнения, в частности, возникают при аппроксимации обыкновенных и многомерных дифференциальных уравнений.

Существует глубокая аналогия между непрерывными и дискретными случаями. В частности, справедливы разностные аналоги формул Грина; если в некоторой задаче применим метод Фурье, то в отношении соответствующей разностной задачи применим дискретный вариант метода Фурье. Практически каждому интегральному тождеству в теории дифференциальных уравнений можно поставить в соответствие некоторый дискретный вариант.

В руках квалифицированного математика методы решения конечно-разностных уравнений являются мощнейшим средством исследования чувствительности («устойчивости») алгоритмов к вычислительной погрешности. Если требуется исследовать алгоритм решения некоторой задачи, то подбирают близкую по структуре задачу (например, следуя принципу замороженных коэффициентов (см. гл. 10)), для которой решение соответствующей конечно-разностной задачи находится в явном виде. Анализируя алгоритм решения исходной задачи на примере этой конечно-разностной задачи, выносят предварительное суждение о его свойствах. Как правило, при практическом решении задач в большинстве случаев полученное на таком пути предварительное суждение дает правильное представление о свойствах алгоритма.

Непосредственно конечно-разностные уравнения потребуются нам в следующем параграфе при описании многочленов Чебышева. Ниже будет проведена аналогия между конечно-разностными уравнениями одного дискретного переменного и обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Рассмотрим простейший случай одного линейного уравнения относительно неизвестной функции одного целочисленного аргумента

Это уравнение называется линейным разностным уравнением порядка и является разностным аналогом линейного дифференциального уравнения порядка

Каждое из уравнений (1) и (2) имеет вид , где L —линейный оператор. Уравнение называют однородным; формулы

дают общее решение уравнения (1) или (2), если при подстановке значений параметров можно получить любое решение рассматриваемого уравнения. Если — частное решение неоднородного уравнения , то разность является решением однородного уравнения . Таким образом, общее решение неоднородного уравнения представимо в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения. Решения однородного уравнения называют линейно зависимыми в рассматриваемой области изменения независимого аргумента, если существуют , не все равные нулю, при которых . В противном случае эти решения называют линейно независимыми. Если функции являются решениями однородного уравнения , то любая функция также является решением этого уравнения, поскольку

Проводимое далее параллельное рассмотрение уравнений (1), (2) подчеркивает общие черты этих уравнений и помогает найти путь исследования уравнения (1) по аналогии с уравнением (2).

Пусть для определенности уравнение (2) рассматривается в области , а уравнение области .

Теорема.

Пусть при и все непрерывны при .

Пусть при .

Тогда, общее решение однородного уравнения записывается в виде

где — линейно независимые решения уравнения .

Доказательство.

Согласно теореме существования уравнение имеет решение при любых начальных условиях .

Согласно теореме единственности это решение единственно.

Обозначим через решения уравнения при начальных условиях .

Однородное уравнение можно представить в виде

Если мы зададимся , то из (3) сможем вычислить последовательно . Таким образом, при любых уравнение имеет решение. Это решение единственно, поскольку значения любого решения удовлетворяют уравнению (3), а из этого уравнения значения определяются однозначно. Обозначим через решения уравнения при начальных условиях .

Эти решения образуют линейно независимую систему. В самом если

то при имеем

Следовательно, в случае

все обязательно равны нулю, поэтому функции линейно независимы.

Пусть — какое-либо решение уравнения . Функция

является решением этого уравнения при начальных условиях

Вследствие единственности решения уравнения

имеем

Теорема доказана.

Далее в курсе дифференциальных уравнений устанавливается следующий факт. Если известны линейно независимых решений однородного уравнения , то нахождение решения неоднородного уравнения (2) сводится к решению уравнений

где — известные функции, т.е. к отысканию квадратур. Точно так же в случае, когда известны линейно не независимых решений однородного уравнения , нахождение решения неоднородного уравнения сводится к решению аналогичных (4) разностных уравнений

где — известные функции.

Перейдем к рассмотрению уравнений с постоянными коэффициентами

соответствующих однородных уравнений

Займемся отысканием частных решений однородного уравнения.

Подставляя в (7) предполагаемый вид частного решения , получаем уравнение

В случае уравнения (8) функцию удобно записывать в виде . Подставляя ее в (8), получаем другое уравнение.

Таким образом, каждому корню уравнения

называемому характеристическим, соответствует частное решение

Если все корни характеристического уравнения простые, мы получаем различных решений. Покажем, что каждому -кратному корню характеристического уравнения соответствуют s различных решений однородного уравнения

Пусть для определенности . Разложим на множители характеристический многочлен

Зададимся действительным параметром .

Возьмем такие, что:

а) различны при ;

б) стремятся к при для всех .

Образуем характеристические уравнения, соответствующие этим корням:

Ясно, что

при .

Этим характеристическим уравнениям соответствуют уравнения

Пусть при мы можем указать решения

уравнения (12) такие, что при любом существует предел

причем сходится к равномерно вместе со всеми производными до порядка к включительно на любом конечном отрезке . Переходя к пределу в (12) с учетом (11), получаем, что предельная функция удовлетворяет уравнению (7).

уравнения (13) такие, что при любом существует предел

Переходя к пределу в (13) с учетом (11), получаем, что предельная функция удовлетворяет уравнению (8).

Построим такие последовательности и , которые будут сходиться к частным решениям (7), (8), соответствующим кратным корням.

При проведении этих построений удобно использовать разделенные разности. Рассмотрим сначала случай двукратного корня. Положим

Эти функции являются решениями соответственно уравнений (13). Запишем их в виде

Переходя к пределу при , получим

В результате мы построили второе линейно независимое решение, соответствующее двукратному корню.

Случай корня более высокой кратности рассмотрим лишь для уравнения (1). Согласно (4.3) имеем

Как линейная комбинация функций , функция является решением уравнения (13). Аналогично (14) непосредственно устанавливается, что

Общее число слагаемых равно , поэтому

Поскольку в случае -кратного корня можно взять , то получилось s частных решений

Задача 1. Доказать, что совокупность частных решений (15), соответствующих корням характеристического уравнения (10), образует фундаментальную систему (т. е. они линейно независимы и решение (8) может быть получено как линейная комбинация таких решений).

Задача 2. Пусть — произвольный многочлен степени . Доказать, что функция записывается как линейная комбинация функций (15)

Таким образом, вместо системы решений (15) можно взять систему решений

Задача 3. Показать, что уравнение (16) имеет частное решение вида

где могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов. Рассмотрим теперь разностное уравнение

(16)

Пусть является корнем характеристического уравнения (10) кратности s; в частности, если не является корнем этого уравнения, то .