Главная > Численные методы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Среди способов интерполирования наиболее распространен случай линейного интерполирования: приближение ищется в виде

где — фиксированные функции, значения коэффициентов определяются из условия совпадения с приближаемой функцией в узлах интерполяции :

Метод решения задачи, при котором коэффициенты , определяются непосредственным решением системы (1), называется методом неопределенных коэффициентов.

Как правило, в методе неопределенных коэффициентов число заданных условий равно числу свободных (неизвестных) параметров, подлежащих определению.

Наиболее изучен случай интерполирования многочленами

Тогда

и система уравнений (1) имеет вид

Далее мы предполагаем, что все различные. Определитель этой системы отличен от нуля (определитель Вандермонда). Следовательно, система (3) всегда имеет решение, и притом единственное. Таким образом, доказано существование и единственность интерполяционного многочлена вида (2).

Непосредственное нахождение коэффициентов с помощью решения этой системы уже при сравнительно небольших , например, при , приводит к существенному искажению коэффициентов вычислительной погрешностью. Кроме того, как мы увидим в гл. 4, уже сама запись многочлена в традиционной форме (2) часто приводит к большой вычислительной погрешности результата. При теоретических исследованиях, например при конструировании алгоритмов решения других задач, эти обстоятельства могут не играть роли. Однако при реальных вычислениях влияние вычислительной погрешности может быть недопустимо большим, и поэтому применяются другие виды интерполяционного многочлена и способы его записи.

Можно получить явные представления интерполяционного многочлена (2), не прибегая к непосредственному решению системы (3). Сразу же отметим, что в других случаях, например при функций многих переменных, получение интерполяционного многочлена в явном виде затруднительно, и часто приходится прибегать к непосредственному решению системы уравнений типа (1).

Пусть есть символ Кронекера, определяемый соотношениями

Задача интерполирования будет решена, если удастся построить многочлены степени не выше такие, что при . Многочлен

будет искомым интерполяционным многочленом. В самом деле,

кроме того, многочлен степени .

Поскольку при , то делится на при . Таким образом, нам известны делителей многочлена степени , поэтому

Из условия получаем

Интерполяционный многочлен (2), записанный в форме

называют интерполяционным многочленом Лагранжа.

Существуют другие формы записи того же интерполяционного многочлена (2), например рассматриваемая далее интерполяционная формула Ньютона и ее варианты. При точных (без округлений) вычислениях значения, получаемые по различным интерполяционным формулам, совпадают. Наличие же округлений приводит к различию в получаемых по этим формулам значений интерполяционных многочленов. Запись многочлена в форме Лагранжа, как правило, приводит к меньшей величине вычислительной погрешности; запись же многочлена в форме Ньютона более наглядна и позволяет лучше проследить аналогию проводимых построений с основными построениями математического анализа. Кроме того, этим различным формам записи соответствует различное количество арифметических операций при вычислении с их помощью значений интерполяционного многочлена.

Мы употребили термин «количество арифметических операций». Поясним, что имеется в виду. Пусть рассматривается задача вычисления значения многочлена

в точке . Вычисления можно проводить различными способами. Например, можно поступить следующим образом. Вычислить значение и сложить с . Далее вычислить значение и сложить с полученным результатом и т.д. На шаге, таким образом, вычисляется значение и складывается с уже вычисленной суммой .

Вычисление значения требует j операций умножения. Таким образом, описанный выше алгоритм требует для вычисления значения моногочлена операций умножения и операций сложения. Количество арифметических операций (действий) в данном случае будет равно .

Ясно, что количество арифметических операций, необходимых для вычисления значения , может быть уменьшено. Например, можно последовательно вычислить и запомнить значения . Для этого потребуется операций умножения. Далее вычисляем величины . Это потребует операций умножения. Складывая полученные значения (это требует операций сложения), получаем . В этом случае и уже при имеет место неравенство .

Можно пойти еще дальше. Запишем в виде

Для вычисления значения во внутренних скобках требуется одна операция умножения и одна операция сложения. Для вычисления значения в следующих скобках требуется опять одна операция умножения и одна операция сложения, так как уже вычислено, и т.д. Таким образом, вычисление при помощи этого алгоритма потребует операций умножения и операций сложения, то есть .

Ясно, что при . Таким образом, вычисление по последнему алгоритму потребует меньше арифметических операций и, соответственно, меньше времени ЭВМ. Количество арифметических операций, которое требуется для получения результата, является одной из важнейших характеристик метода, по которой происходит сравнение методов.

Иногда до начала вычислений не удается точно оценить требуемое количество арифметических операций, а удается оценить лишь порядок количества арифметических операций по отношению к какому-либо параметру. В рассматриваемом выше примере

— степень многочлена.

В последнем случае говорят, что методы имеют одинаковый порядок количества арифметических операций.

В тех случаях, когда находится порядок количества арифметических операций, бывает важно найти постоянную в главном члене. Например,

Как правило, метод, требующий меньшего количества арифметических операций, является более быстрым, и поэтому считается лучшим. Выбирая метод решения сложных задач, часто ограничиваются лишь сравнением порядков количества арифметических операций для различных методов.

Заметим, что значение многочлена определяется параметрами и величиной . Поэтому в общем случае для вычисления потребуется не менее арифметических операций, т.е. мы имеем оценку снизу для количества арифметических операций. Таким образом, второй и третий методы вычисления являются оптимальными по порядку, так как и для любого метода .

В связи с появлением многопроцессорных вычислительных комплексов может случиться так, что метод, требующий большего количества арифметических операций, будет быстрее другого метода с меньшим количеством арифметических операций. Поэтому для случая многопроцессорной ЭВМ нельзя оценивать качество метода только по количеству арифметических операций.

1
Оглавление
email@scask.ru