§ 2. Решение интегральных уравнений с помощью замены ядра на вырожденное

Другой классический способ решения интегральных уравнений, применяемый в случае задач (1.2), (1.4), состоит в замене - ядра интегрального оператора на вырожденное.

Вырожденным называется ядро, представимое в виде конечной суммы

Пусть

Для определенности будем предполагать, что линейно независимы и также линейно независимы. В противном случае ядро можно записать в виде (1) с меньшим значением .

В случае (1) есть основания ожидать, что решение уравнения (1.2) близко к решению уравнения

Подставляя выражение в (2), получим равенство

Следовательно,

где

Таким образом, решение уравнения (2) сводится к определению коэффициентов .

Подставляя выражение (4) для в (3), получим уравнение

при получении этого уравнения в двух случаях индекс суммирования j переобознален через . Последнее уравнение можно переписать в виде

где

Вследствие линейной независимости функций имеем . Таким образом, мы получили систему уравнений относительно неизвестных :

здесь — скалярное произведение. После решения этой системы получаем приближение к решению задачи, которое имеет вид

Если применяется метод из § 1, то при больших решение системы (1.9) методом Гаусса может оказаться невозможным из-за недопустимо большого (порядка ) числа операций. Если

то для решения системы уравнений (1.9) можно применить метод простой итерации

Если переписать этот итерационный процесс в векторном виде

то вследствие (6) имеем и погрешность итерационного процесса убывает как . Если q не очень близко к 1, то применение итерационного процесса (7) целесообразнее применения метода Гаусса.

Если итерационный процесс сходится медленно или не сходится, то применяется, например, следующий прием. В уравнение (1.2) вводится новая неизвестная функция

и оно преобразуется к виду

Оказывается, что , если . Поэтому при достаточно малой величине и разумном выборе квадратурной формулы окажется, что система уравнений (1.9), соответствующая уравнению (8), удовлетворяет условию (6), и итерационный процесс (7) быстро сходится.

Рассмотрим другой способ получения уравнения вида (8) с малой . Определим интегральный оператор

Обозначим через оператор, обратный к оператору равно решению уравнения . Применяя к (1.2) оператор , получим уравнение

которое может быть записано в виде

где опять-таки , если .

В вычислительной практике наиболее употребителен дискретный вариант описанных алгоритмов. По аналогии со случаем вырожденных ядер можно определить класс вырожденных матриц. Пусть — множество квадратных матриц размерности , представимых в виде

матрица является квадратной матрицей размерности и ранга 1. Аналогично способу решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода можно построить способ решения алгебраических систем с «вырожденной» матрицей

вектор отыскивается в виде . Относительно неизвестных получаем систему уравнений (5), где — обычное скалярное произведение векторов.

Рассмотрим простейший случай. Пусть в (1.6) применяется формула прямоугольников

система уравнений (1.9) имеет вид

или в векторной форме

Пусть целое, нечетное. Определим матрицу S размерности по правилу: ее элементы равны

где — ближайшая к из точек . Близость измеряется как максимум модулей разностей первых и вторых компонент. Таким образом,

(напомним, что s нечетно).

Задача 1. Показать, что .

Далее вводим новый вектор неизвестных (аналог перехода к уравнению ) или умножаем части системы (10) слева на матрицу (аналог перехода к уравнению ). В обоих случаях получаем новую систему уравнений вида

Справедливо следующее утверждение.

Если ядро непрерывно, то

Таким образом, получаем систему уравнений, для решения которой может быть эффективно применен метод простой итерации.

При реальном решении задач часто в явном виде системы уравнений (8), (9), (11) не выписываются; на каждом шаге необходимые вспомогательные величины, например в случае (11) значения векторов при различных h, вычисляются заново. В результате этого трудоемкость метода оказывается довольно малой.

Рассмотрим, например, дискретный вариант перехода к системе (9). Имеем систему

Итерационный процесс записывается в виде

Вычисление вектора требует арифметических операций.

Вектор находим на каждой итерации, решая систему уравнений

с матрицей .

Вычисление коэффициентов системы (5) требует операций и при известных вычисление z требует операций. Таким образом, при на каждом шаге производится операций, по порядку столько же, сколько и в методе простой итерации.