§ 9. Минимизация оценки остаточного члена интерполяционной формулы

Пусть функция приближается на с помощью интерполяционного многочлена степени с узлами интерполяции . Согласно (3.1) имеем

где , если . Отсюда следует оценка погрешности интерполяции

Здесь есть обозначение равномерной нормы: .

Займемся минимизацией правой части оценки (1) за счет выбора узлов . Многочлен имеет старший коэффициент 1, поэтому согласно (8.6). Если взять в качестве узлов интерполяции

то

и

Следовательно, при таком расположении узлов справедлива наилучшая из оценок, которая может быть получена как следствие оценки (1):

При получении оценки (1) максимум произведения заменен на произведение максимумов сомножителей. Поэтому может возникнуть надежда получить оценку погрешности, лучшую, чем (3). Однако это не так. Если — многочлен степени , то

поэтому неравенство (1) превращается в равенство; тогда, вследствие (8.6), при любых узлах интерполяции имеем

Как уже отмечалось, важной проблемой вычислительной математики является проблема оптимизации методов решения задач некоторого класса. Общая постановка ее такова.

Задается некоторый класс Р решаемых задач . Задается некоторое множество М методов решения. Пусть - погрешность метода при решении задачи . Величину

называют погрешностью метода на классе задач Р. Величину

называют оптимальной оценкой погрешности методов из множества М на классе задач Р. Если существует метод , на котором эта оценка достигается, т.е. , то такой метод называют оптимальным.

Полученное нами решение задачи об оптимизации узлов распределения интерполяционной формулы можно сформулировать в описанных выше терминах.

Пусть Р — множество задач приближения функций, определенных на и удовлетворяющих условию . Пусть М — множество методов приближения, состоящих в том, что функция заменяется ее интерполяционным многочленом по совокупности узлов таким образом, метод решения определяется заданием узлов интерполяции .

Наконец, пусть мера погрешности . Согласно (1) имеем

С другой стороны, для задачи приближения многочлена

относящейся к рассматриваемому классу, имеем

Следовательно,

Как мы видели выше,

Таким образом, способ интерполяции по узлам многочлена Чебышева (2) является оптимальным в рассматриваемом смысле.

В заключение произведем сравнение оценки (3) с оценкой погрешности разложения функции в ряд Тейлора. Согласно результатам § 6 отрезок ряда Тейлора

совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа при единственном, -кратном узле интерполяции . Поэтому, естественно, при оптимальном распределении узлов интерполяции (2) мы должны иметь лучшую оценку. В самом деле, оценка

погрешности отрезка ряда Тейлора уступает оценке (3) в раз.

Приведем для сведения оценки погрешности интерполяции с узлами в нулях многочлена Чебышева. Для простоты возьмем случай, когда .

Оценка 1. Если удовлетворяет неравенству , то справедливо соотношение при .

Оценка 2. Если функция аналогична в каждой точке отрезка , то , где .

Последнюю оценку можно конкретизировать. Пусть функция, аналитическая в эллипсе на плоскости с фокусами в точках -1,1; тогда , где — сумма полуосей этого эллипса.

Таким образом, при интерполяции по узлам многочлена Чебышева погрешность автоматически уменьшается, если алгоритм применяется к более гладкой функции. Такие алгоритмы называют .

Если узлы интерполяции распределены существенно иначе, например равномерно, то даже для аналитической функции погрешность интерполяции может стремиться к бесконечности с ростом числа узлов. Например, для функции место соотношение

Задача 1. Пользуясь формулой (8.8), показать, что интерполяционный многочлен с узлами в нулях многочленов Чебышева записывается в виде

Такая запись интерполяционного многочлена позволяет быстро и с малой чувствительностью по отношению к вычислительной погрешности вычислять его значения (см. § 4.8).