Глава 4. Приближение функций и смежные вопросы
Непрерывная функция не всегда может быть хорошо приближена интерполяционным многочленом Лагранжа. В частности, последовательность интерполяционных многочленов Лагранжа по равноотстоящим узлам не обязательно сходится к функции даже в том случае, если функция бесконечно дифференцируема. В тех случаях, когда сходимость имеет место, часто получение достаточно хорошего приближения требует использования полиномов высокой степени. В то же время, если для приближаемой функции удается подобрать подходящие узлы интерполяции, то степень интерполяционного многочлена, приближающего функцию с заданной точностью, может быть значительно снижена.
В ряде конкретных случаев целесообразно приближать функцию не путем интерполяции, а путем построения так называемого наилучшего приближения. Проблемы, связанные с построением наилучшего приближения, и будут рассмотрены в настоящей главе.
§ 1. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве
Сформулируем задачу построения наилучшего приближения на абстрактном языке. Пусть имеется элемент 
линейного нормированного пространства 
. Требуется найти его наилучшее приближение линейной комбинацией 
данных линейно независимых элементов 
. Это означает: найти элемент 
такой, что
По-другому это можно обозначить следующим образом:
Если такой элемент существует, то он называется элементом наилучшего приближения.
Теорема. Элемент наилучшего приближения существует.
Доказательство. Вследствие соотношений (следствие из неравенства треугольника)
функция
является непрерывной функцией аргументов 
при любом 
. Пусть 
- евклидова норма вектора 
. Функция 
непрерывна на единичной сфере 
и, следовательно, в пекоторой ее точке 
достигает своей нижней грани F по сфере, причем 
, так как равенство 
противоречит линейной независимости элементов 
. Для любого 
справедлива оценка
Пусть 
. Функция 
непрерывна в шаре 
следовательно, в некоторой точке шара она достигает своей нижней грани 
по шару. Имеем 
. Вне этого шара выполняются соотношения
Таким образом, вне этого шара
при всех возможных 
. Теорема доказана.
Элементов наилучшего приближения, вообще говоря, может быть несколько.
Пространство R называется строго нормированным, если из условия
следует 
.
Задача 1. Доказать, что в случае строго нормированного пространства 
, элемент наилучшего приближения единствен.
Задача 2. Доказать, что пространство 
почти всюду, с нормой
строго нормированное при 
.
Рассмотреть отдельно простейший случай гильбертова пространства 
