§ 4. Численное решение нелинейных задач с разрывными решениями

Рассмотрим задачу Коши для уравнения

при начальном условии

Эта задача не имеет непрерывного решения, поэтому разностная задача в обычном смысле не аппроксимирует дифференциальную. Однако тем не менее рассмотрим разностные аппроксимации этой задачи

при начальных условиях

Нетрудно убедиться, что при решением задачи (2), (5) является

решением задачи (3), (5) является

Решение задачи (4), (5) не выписывается в явном виде. При из (4) имеем

Непосредственно вычисляя значения , можно убедиться, что

Более точные теоретические оценки показывают, что

где ; следовательно, решение сеточной задачи (4), (5) близко к разрывной функции

Таким образом, решения различных разностных задач, аппроксимирующих на гладком решении одну и ту же дифференциальную задачу, в случае разрывного решения могут сходиться к различным пределам при стремлении шагов сетки к нулю.

Заметим, что само решение такой дифференциальной задачи также не определено однозначно, пока ничего не сказано о том, как проходит линия разрыва решения.

В наиболее типичных случаях условия на линии разрыва являются следствием интегральных законов сохранения, из которых возникла данная дифференциальная задача.

Пусть — гладкое решение уравнения (1); интегрируя (1) по переменным по некоторой области G, получим

или

здесь Г — граница области G. Если умножить уравнение (1) на и и проинтегрировать по области G, то получим

или

Если для гладкой функции выполнены условия (7) или (8) для любого контура Г, то эти условия равносильны. Дело обстоит иначе в случае разрывной .

Если — кусочно-гладкая функция, то из (7) можно получить, что в области гладкости функция и является решением уравнения (1), а вдоль линии разрыва выполнено соотношение

здесь

Точно так же из (8) следует, что в области гладкости функция и является решением уравнения (1), а вдоль линии разрыва выполнено соотношение

Из вьннесказанного видно, что для сходимости решения разностной задачи к разрывному решению уравнения (1) существенно определенное соответствие между разностной задачей и законом сохранения, соответствующим дифференциальной задаче.

Соображения здравого смысла, численный эксперимент и теоретические оценки погрешности для случая одной неизвестной функции показали, что разностная схема должна обладать свойством дивергентности. Первоначально это свойство формулировалось в следующем виде: если ищется решение уравнения

соответствующее закону сохранения , то левая часть разностной схемы должна являться линейной комбинацией выражений

или близких к ним. Например, разностная схема (4) удовлетворяет условию дивергентности по отношению к закону сохранения (7). По отношению к закону сохранения (8) условию дивергентности удовлетворяет разностная схема

Впоследствии оказалось, что условие дивергентности допускает существенное расширение. Например, такому расширенному условию дивергентности по отношению к уравнению удовлетворяет следующая разностная схема.

Сначала делается полушаг

а затем полный шаг по формуле

Здесь разностная схема записывается в виде линейной комбинации выражений (9) лишь на заключительном шаге.