§ 3. Квадратурные формулы Ньютона—Котеса

Рассмотренные далее квадратуры относятся к большой группе квадратурных формул, полученных с помощью интегрирования интерполяционного многочлена и объединенных под одним названием — квадратурные формулы Ньютона—Котеса. Зададимся некоторыми и построим интерполяционный многочлен степени , совпадающий с в точках . Положим

Имеем

Разность оценим, воспользовавшись оценкой погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа

где . Отсюда

Произведем в последнем интеграле замену переменных, положив . Тогда

где

Таким образом, справедлива оценка

Пусть все различны. Тогда

После замены переменных получим

где

Таким образом, построенная квадратурная формула имеет вид

Как и при численном дифференцировании, можно обнаружить следующие обстоятельства: если задача имеет определенную симметрию, то метод с симметрией того же типа часто обладает дополнительными преимуществами.

Будем называть функцию четной относительно точки , если , и нечетной, если .

Можно показать, что для весовой функции , четной относительно середины отрезка , и узлов , расположенных симметрично середины отрезка, т.е. , коэффициенты квадратуры, соответствующие симметричным узлам, равны между собой:

(Доказать!)

Такие «симметричные» квадратуры обладают следующим дополнительным свойством, которое, формально говоря, не предусматривалось при их построении. Они точны для любой функции, нечетной относительно середины отрезка , т. е. удовлетворяющей условию . В самом деле, для таких функций

вследствие четгюсти , а вследствие (5); поэтому и . В частности, квадратуры будут точны для любого одночлена вида . Свойство симметрии (5) помогает также при непосредственном построении формул методом неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим теперь симметричную квадратуру, соответствующую нечетному . Она точна для и, согласно построению, точна и для любого многочлена степени . Следовательно, такая квадратура будет точна и для любого многочлена степени . Таким образом, построенные квадратуры с и узлами, с симметричным расположением узлов оказываются точными для многочленов одинаковой степени (для квадратур Гаусса (см. § 5) эта степень выше).

Чтобы получить уточненную оценку погрешности квадратур с нечетным числом узлов не через , а через следует заменить подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа, имеющим точку двукратным узлом интерполирования. Ниже для случая строится ряд элементарных квадратурных формул и дается оценка погрешности; при и для симметричных формул производится оценка погрешности через .

1. Формула прямоугольников. Пусть . Тогда

и имеем квадратурную формулу

с оценкой остаточного члена

2. Формула прямоугольников как формула с кратным узлом. Пусть . Тогда

Таким образом, имеем ту же квадратурную формулу

с оценкой остаточного члена

В обоих случаях получилась одна и та же квадратурная формула, но с различной оценкой остаточного члена.

3. Формула трапеций. Пусть . Тогда

Получена формула трапеций

с оценкой остаточного члена

4. Формула Симпсона. Пусть . Тогда

Согласно формуле интерполирования с кратными узлами, можем написать, что

где

Второе слагаемое в выражении является функцией, нечетной относительно середины отрезка , поэтому

Рис. 3.3.1

Многочлен является интерполяционным многочленом второй степени, соответствующим (рис. 3.3.1). Этим значениям соответствуют , .

В результате получаем квадратурную формулу Симпсона

с оценкой остаточного члена

Основной целью настоящей главы является рассмотрение способов вычисления интегралов от функций, заданных аналитическим выражением, и выработка принципов построения стандартных программ интегрирования таких функций. Естественно, что кроме этих задач в теории квадратурных формул имеются и другие задачи, например связанные с обработкой экспериментального материала.

Для примера обратим внимание на квадратурные формулы Чебышева, широко применявшиеся при подсчете водоизмещения судов. Постановка задачи, приведшая к построению этих квадратур, довольно близка к постановке задачи, возникающей при планировании экспериментов (см. гл. 2 § 1). Вычисляется интеграл , причем известно, что функция с приемлемой точностью может быть приближена многочленом степени q. Получение каждого значения , например путем измерений, обходится довольно дорого, и получаемые значения содержат довольно большие случайные погрешности. Предположим, что погрешности измерений независимы, имеют одинаковую дисперсию d и математическое ожидание, равное нулю. Тогда дисперсия приближенного значения , вычисляемого по квадратурной формуле

равна . Условие при имеет вид

Как нетрудно проверить, минимум величины при условии (9) достигалется при . Эти рассуждения привели к следующей постановке задачи: среди всех квадратур

точных для многочленов степени q, найти квадратуру, соответствующую наименьшему . При и искомой будет квадратура прямоугольников при и — квадратура Гаусса (см. § 5).