§ 12. Примеры оптимизации распределения узлов

Рассмотрим примеры решения уравнения (11.6) для конкретных задач. Пример 1. Пусть вычисляется серия интегралов

где — параметр серии, , — гладкая функция, . Если , то вторая производная не ограничена в окрестности точки 0, поэтому при выборе модельной задачи следует учесть эту специфику поведения подынтегральной функции. В окрестности точки мы имеем

Таким образом, в окрестности точки вторая производная приблизительно пропорциональна второй производной функции , поэтому функцию естественно рассматривать в качестве модельной. Примем за величину тогда уравнение (11.6) запишется в виде

отсюда

Из условия получаем, что , а из условия — что . Таким образом,

и для модельной задачи вычисления интеграла оптимальным в рассматриваемом нами смысле является распределение узлов .

Проведенные выше построения, вообще говоря, неприменимы к рассматриваемому случаю, поскольку при получении оценки (11.4) предполагалась ограниченность второй производной функции , не имеющая места для данной задачи. Однако можно обосновать применимость оценки (11.4) и в рассматриваемом случае.

Задача 1. Пусть для функции

где , по формуле трапеций с постоянным шагом вычисляется

Доказать, что суммарная погрешность удовлетворяет соотношению , где .

Задача 2. Интеграл (2) вычисляется по формуле трапеций с распределением узлов определяемым (1). Доказать, что суммарная погрешность удовлетворяет соотношению .

Задача 3. Интеграл (2) вычисляется по формуле трапеций с распределением узлов . Показать, что при суммарная погрешность . Проверить, что .

Сравнение результатов решения этих задач показывает, что перераспределение узлов в сторону большей их концентрации вблизи особенности, в частности оптимизация распределения узлов, приводит к увеличению порядка скорости сходимости.

Пример 2. Вычисляется серия интегралов

где — гладкая функция, , — параметр серии. Поскольку имеет особенность в точке 0, то кажется естественным взять в качестве модельной функции . Ее вторая производная имеет вид

При уравнение (11.6) не решается в квадратурах, поэтому упростим задачу. При функция растет медленнее, чем любая степенная функция . Исходя из этого в уравнении (11.6) возьмем .

Пример 3. Вычисляется серия интегралов

где — гладкая функция, — параметр серии, который может принимать очень малые значения. При малых подынтегральная функция и ее производные резко меняются в окрестности точки за счет множителя , поэтому имеет смысл произвести оптимизацию распределения узлов интегрирования на модельной задаче вычисления интеграла . Положим . Уравнение (11.6) приобретает вид

Отсюда

Из условия следует, что , а из условия получаем

откуда

Пример 4. Вычисляется серия интегралов

где — гладкая функция, — параметр серии, который может принимать очень малые значения. При малых подынтегральная функция и ее производные резко меняются в окрестности точки за счет множителя . Поэтому в качестве модельной задачи возьмем задачу вычисления интеграла . Положим тогда в качестве уравнения (11.6) получим уравнение

откуда

Этот интеграл не вычисляется в явном виде, поэтому попытаемся произвести упрощения. Например, можно заменить - на 1. При больших значениях , когда погрешность такой замены большая, ее влияние не столь значительно из-за малого множителя .

После такого упрощения функция будет выражаться через функцию, обратную функции .

Задачи, подобные рассмотренным в примерах 3, 4, возникают довольно часто. Например, при расчетах диаграмм направленности антенн вычисляются серии интегралов в широком диапазоне изменения функции являются довольно гладкими. При b не очень больших эти интегралы могут вычисляться с помощью простейших квадратурных формул. С ростом b производные подынтегральной функции растут, поэтому требуемое количество узлов интегрирования увеличивается. При очень больших b можно воспользоваться методом перевала или иными асимптотическими методами. Однако для «промежуточных» значений b оба эти метода будут плохи: первый — из-за трудоемкости, второй — из-за малой точности. Поэтому иногда применяют следующий метод: контур интегрирования преобразуется так, чтобы он проходил по линиям наискорейшего спуска функции , как это делается при использовании метода перевала. Получаются интегралы от резко меняющихся функций, аналогичные рассмотренным в примерах 3, 4.

Из приведенных примеров видно, что оптимизация распределения узлов интегрирования на основе уравнения (11.6) требует достаточно высокой квалификации исследователя. Поэтому далее в § 17 будет рассмотрен вопрос о передаче этих функций ЭВМ.