§ 11. Интерполяционные формулы для таблиц с постоянным шагом

Поскольку таблицы значений функций с постоянным шагом наиболее употребительны, приведем конкретные расчетные формулы для таких таблиц. Если узлы интерполирования выбираются вблизи точки , где вычисляется значение функции, то промежуточная точка в оценке остаточного члена (3.1) также находится вблизи . Таким образом, величина изменяется не очень сильно при выборе узлов в окрестности точки .

Следовательно, решающее влияние на значение погрешности оказывает величина

т.е. произведение расстояний от точки до узлов интерполирования. Величина будет минимальной, если в качестве узлов интерполирования для нахождения мы возьмем узлов, ближайших к . Для этого при четном следует взять по узлов справа и слева от точки . При нечетном следует взять узел, ближайший к , и по узлов слева и справа от него. Если точка находится вблизи одного из концов таблицы, то это правило несколько изменится.

При интерполировании в начале или конце таблицы принято записывать интерполяционный многочлен в виде так называемых формул Ньютона для интерполирования вперед или назад. Пусть — интерполяционный многочлен Лагранжа по узлам . Согласно (5.3) имеем

Произведем замену переменных и перейдем согласно (10.3) от разделенных разностей к конечным. Получим

Остаточный член (3.1) представится в виде

Формулу (1) называют интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования вперед. Если мы произведем такую же, замену переменных в интерполяционном многочлене по узлам :

то получим интерполяционную формулу Ньютона для интерполирования назад

с остаточным членом

Эти формулы, в частности, используются при построении методов решения дифференциальных уравнений. Таблицы конечных разностей так же, как и таблицы разделенных разностей, используются для оценки производных функции. Если непрерывна, то справедливо равенство ; здесь

Поэтому при малых h можно принять .

Часто приобретает особо важное значение малость степени полиномов, приближающих функцию. Уменьшения степени таких полиномов без потери точности иногда можно достигнуть, образуя линейные комбинации интерполяционных полиномов. Рассмотрим простейший из таких способов приближения функций.

Требуется приблизить функцию на отрезке многочленом второй степени. Выпишем интерполяционную формулу Ньютона третьей степени по узлам , взяв узлы в последовательности и в последовательности . Имеем

Поскольку интерполяционный многочлен третьей степени, совпадающий с функцией в четырех узлах, единствен, то

Образуем полусумму равенств (4), (5). Так как , в левой части будет стоять многочлен при вычислении правой части образуем полусуммы от соответствующих слагаемых; введем обозначения: .

Получим

Обозначив первые три слагаемые в правой части последнего равенства через , соотношение (3) запишем в виде

Многочлен называют интерполяционным многочленом Бесселя. Если подходить формально, то этот многочлен второй степени не является интерполяционным, поскольку он совпадает с только в точках .

В следующем параграфе будет видно, что использование многочлена Бесселя дает определенные преимущества по сравнению с непосредственным использованием интерполяционного многочлена второй степени.