§ 12. Влияние вычислительной погрешности в зависимости от формы записи конечно-разностного уравнения

Как было установлено ранее, вычислительная погрешность имеет различный характер роста для различных способов решения дифференциальных уравнений. Рассмотрим теперь такой частный, но важный вопрос: как зависит вычислительная погрешность от формы записи копечно-разностных уравнений? Хотя все изложение ведется на примере задачи Коши. проводимые соображения относятся в равной мере и к случаю решения краевых задач. Для примера обратимся к методу Эйлера:

При реальных вычислениях будут получаться величины , связанные соотношением

наличие слагаемого является следствием ряда причин погрешностей при вычислении значений функции , погрешностей при округлении произведения и погрешностей при сложении чисел и округленного значения .

Введем обозначение на основании формулы Лагранжа имеем

где . Предположим, что всегда . Вычитая (1) из (2), получаем

откуда

(3)

Рассмотрим разностное уравнение

являющееся мажорирующим для (3). Его решение при начальном условии есть

Лемма. При всех справедливо

Доказательство. При утверждение (4) очевидно. Пусть оно верно для некоторого ; тогда имеем

Лемма доказана.

Если интегрирование производится на отрезке , то

Согласно формуле Лагранжа при имеем , где . Отсюда получаем

В итоге имеем оценку

Рассмотрим случай . Тогда погрешность при фиксированном X оценивается сверху через .

Эта оценка неулучшаема по порядку. Например, при имеем и, таким образом,

Приведем некоторые рассуждения, из которых следует, что погрешность округления может оказаться величиной порядка . Соотношение

можно переписать в виде

где

Таким образом, результат численного интегрирования уравнения при наличии округлений будет такой же, как если бы без округлений интегрировалось уравнение со значениями правой части в узлах сетки . Рассмотрим случай . Разность между решениями дифференциальных уравнений

имеет порядок разности между правыми частями этих уравнений, т. е. . Нет оснований ожидать, что решения разностных уравнений будут отличаться на величину, существенно меньшую . Если порядка — разрядность чисел в ЭВМ, то решение разностного уравнения изменится на величину порядка .

При получении этого вывода было сделано допущение . Рассмотрим задачу вычисления интеграла , являющуюся частным случаем рассматриваемой задачи при . Пусть - нечетно. При значение лежит в пределах (1/2, 1). Тогда после округления при сложении

каждый раз происходит отбрасывание подчеркнутой величины, равной . Таким образом, на этом участке действительно порядка .

Перейдем к случаю интегрирования уравнения при помощи простейшего метода

по расчетной формуле

Реально получаемые значения связаны соотношением

Значения можно рассматривать как получаемые без округлений при вычислениях по формуле

где .

Рассмотрим случай . Тогда решения дифференциальных уравнений различаются между собой на величину порядка .

Задача 1. Показать, что в случае уравнения , возможен случай порядка .

Как и для уравнения первого порядка, делаем вывод, что для рассматриваемого алгоритма суммарная вычислительная погрешность может оказаться величиной порядка . Требование малости этой величины накладывает ограничение снизу на допустимый шаг интегрирования.

Рассмотрим случай, когда такая величина вычислительной погрешности оказывается недопустимо большой. Можно было бы записать рассматриваемое уравнение в виде системы уравнений первого порядка

и применить какой-либо метод численного интегрирования этой системы. Как уже отмечалось, при этом произошла бы потеря эффективности, поскольку методы, применимые для систем общего вида, не учитывают специфики этой системы.

Попытаемся записать рассматриваемую расчетную формулу как некоторую расчетную формулу интегрирования системы (6). Введем новую дискретную переменную

тогда уравнение (5) запишется в виде

Вычисления последовательных значений будем производить при помощи пары расчетных формул

При наличии округлений соответственно имеем

где . Эти соотношения можно представить в виде

Если формулы (7) можно трактовать как формулы численного интегрирования системы , то формулы (8) соответствуют системе

Правые части этих систем различаются на величины порядка поэтому есть какие-то основания ожидать, что и решения разностных задач, т. е. решения разностной задачи с округлениями и разностной задачи без округлений, будут различаться на величину того же порядка.

Задача 2. Доказать справедливость утверждения, сформулированного выше.

Конечно, к этому заявлению следует отнестись с осторожностью; мы уже видели, что для некоторых конечно-разностных схем малые погрешности могут приводить к катастрофическому изменению результата.

Приведенные рассуждения о влиянии вычислительной погрешности в конкретных методах интегрирования уравнений первого и второго порядков опираются лишь на учет свойств конечно-разностной схемы, связанных с порядком дифференциального уравнения. Поэтому они переносятся на другие конечно-разностные методы. Например, при интегрировании уравнения и прямом использовании схемы

следует ожидать влияния вычислительной погрешности порядка . Таким образом, в случае уравнений высокого порядка еще более актуальна задача преобразования схемы к форме, где влияние вычислительной погрешности будет меньше. Например, аналогично случаю целесообразно ввести вспомогательные переменные

Попытаемся , улучшение свойств разностной схемы (5) при переходе к расчетным формулам (7), оценивая количество хранимой информации. При использовании расчетной формулы (5) при каждом в памяти ЭВМ хранятся величины , и все дальнейшие значения определяются по этим значениям. Пусть для определенности . В ячейке, содержащей значение , имеется независимых двоичных знаков разряды числа . А уже не все несут новую информацию.

Дело заключается в следующем. Пусть наибольшее целое, такое, что . Тогда имеем

и для задания а следовательно, и , достаточен двоичный знак (знак разности и ). Поскольку , то общее количество независимой информации, которое имеется в нашем распоряжении при каждом , составляет двоичных разрядов (с точностью до слагаемого, не зависящего от t и ).

В случае вычислений по формуле (7) все разряды чисел независимы и поэтому информация о решении задается независимыми двоичными разрядами.

Тот факт, что количество независимой информации для второго способа больше, конечно, не означает, что этот способ лучше. Не исключено, что эта дополнительная информация не является содержательной и поэтому не позволяет точнее определить решение. Поясним, почему дополнительная информация при втором способе является содержательной.

Для определения решения дифференциального уравнения второго порядка с точностью требуется задание с такой же по порядку точностью значения решения и его производной в некоторой точке. Для разностного уравнения роль этих величин играют первом способе задание значений с t двоичными знаками позволяет определить с погрешностью порядка . Таким образом, здесь по известной нам информации мы располагаем возможностью найти дальнейшие значения решения сеточной задачи с погрешностью порядка (если все последующие вычисления будут производиться абсолютно точно). В случае второго способа мы имеем значения с t двоичными знаками, поэтому обладаем возможностью найти решение сеточной задачи с погрешностью порядка . Таким образом, эта дополнительная информация действительно оказывается содержательной.

На каждом шаге реального численного интегрирования погрешности округления вносят дополнительную неопределенность в компоненты вектора : во втором случае порядка , в первом — порядка . Это и приводит к тому, что суммарная вычислительная погрешность решения во втором случае может оказаться величиной порядка , а в первом — порядка .

Рассмотрим метод прогонки решения сеточной красной задачи (1.3), соответствующей уравнению второго порядка при .

Коэффициенты вычисляются по следующим рекуррентным формулам в случае целесообразно заранее вычислить и вести вычисления по формуле . При вычислении суммы произойдет округление, т. е. получится величина где может оказаться величиной порядка . Это равносильно тому, что без округлений решается уравнение , где . Рассуждая, как и выше, получим, что такое возмущение коэффициента может привести к возмущению решения на величину порядка .

Если коэффициент существенно больше 1, то при вычислении выражения , погрешность округления может оказаться величиной порядка . Поскольку вклад от погрешности в одной точке в суммарную погрешность умножается на коэффициент порядка h, то влияние этого округления на окончательный результат порядка . Если , то это выражение будет сушественно больше чем .

Замечание. Возмущения, вносимые другими округлениями при вычислениях , также равносильны некоторым возмущениям коэффициентов и .

Чтобы погрешность решения системы (1.1) была существенно меньше, необходимо по крайней мере задавать ее в форме, где округления коэффициентов системы равносильны существенно меньшим возмущениям коэффициентов исходной дифференциальной задачи. С этой целью можно, например, перейти к системе

Соответственно при решении этой системы вместо рекуррентных соотношений (3.11) относительно коэффициентов следует перейти к рекуррентным соотношениям (4.9), (4.10) относительно .

Выше рассматривался случай, когда при всех погрешность округления оказывалась одной и той же. Если коэффициент , то при вычислении величины при различных округления могут оказаться различных знаков, и поэтому суммарная погрешность может оказаться по порядку меньшей чем . В случае задачи Коши для уравнения при условиях вычислительная погрешность часто накапливается медленнее — как .

Обратим внимание на прием практической оценки вычислительной погрешности путем изменения масштабов, применяемый иногда для экспериментального исследования чувствительности метода к вычислительной погрешности. Пусть некоторым методом решается задача Коши

Замена переменных сводит эту задачу к задаче

Предположим, что первая задача интегрировалась с шагами осуществим численное интегрирование второй задачи тем же методом, но с шагами .

При отсутствии округлений будет иметь место равенство , если и оба не являются целыми степенями двойки, то разность между реально получаемыми значениями величин и обычно дает определенное представление о величине вычислительной погрешности. Например, можно взять .

Литература

1. Бахвалов Н. С. Численные методы — М.: Наука, 1975.

2. Бахвалов Н. С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя // ЖВМиМФ. 1969, 9, N 4. С. 841-859.

3. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Начала теории вычислительных методов. Дифференциальные уравнения — Минск: Наука и техника, 1982.

4. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы. Т. 2 - М.: Наука, 1977.

5. Самарский А. А., Тихонов А. Н. Об однородных разностных схемах // ЖВМиМФ. - 1961.-1, N 1. С. 5-63.

6. Соболев С. Л. Некоторые замечания о численном решении интегральных уравнений // Изв. АН СССР, сер. матем. -1956. 20, N 4. С. 413-436.

7. Федорова О. А. Вариационно-разностная схема для одномерного уравнения диффузии // Матем. заметки — 1975. —17, N 6. С. 893-898.