§ 8. Оценка погрешности конечно-разностных методов

Произведем оценку погрешности приближенных решений, которые получаются при использовании конечно-разностных методов вида (5.2), удовлетворяющих условию . Получаемые в процессе реальных вычислений величины , являющиеся приближениями к значениям , связаны на самом деле не соотношением (5.2), а соотношением

(1)

где может быть отлична от нуля (причины появления уже были указаны в § 4).

С другой стороны, в § 5, 6 установлено, что значения точного решения дифференциальной задачи удовлетворяют соотношению

при соответствующем подборе коэффициентов и оказывалось, что , где . Вычитая (2) из (1), получим уравнения для погрешности . На основании формулы Лагранжа имеем равенство

где лежит между . С учетом (3) разность соотношений (1) и (2) запишется в виде

где .

Теорема (об оценке погрешности). Пусть разностная схема удовлетворяет условию и при . Тогда при выполняется неравенство

где - некоторая постоянная, зависящая от коэффициентов и от L и X.

Доказательство. Для доказательства нам понадобится частный случай леммы из § 3 гл. 6: пусть все собственные значения матрицы А лежат в круге и на границе круга нет кратных корней; тогда можно указать матрицу С такую, что где .

Для удобства оценки преобразуем уравнение (4) в одношаговое векторное уравнение. В дальнейшем для определенности предполагаем h настолько малым, что , тогда коэффициент при в (4) по модулю не менее . Перенося в (4) все слагаемые, не содержащие в правую часть и деля на коэффициент при , получим равенство

Положим

Введем в рассмотрение векторы

Соотношение (6) равносильно равенству

где

Действительно, приравнивая первые компоненты векторов в правой и левой частях (7), мы получим равенство (6), а приравнивая остальные компоненты, получаем тождества

Вычислим характеристический многочлен матрицы А:

Для этого умножим первый столбец на и прибавим ко второму, затем — второй на и прибавим к третьему и т. д. В результате получим

где . Раскрывая определитель по последнему столбцу, имеем или, что то же самое,

Характеристическое уравнение матрицы А оказалось пропорциональным характеристическому уравнению (7.4) разностной схемы. Согласно предположению а все корни характеристического уравнения матрицы А лежат в круге и на границе круга нет кратных. Поэтому по отношению к матрице А условие леммы выполнено со значением . Следовательно, существует матрица С такая, что и . Произведем в уравнении (7) замену переменных . После умножения слева на оно приведется к виду

где

В матрице ненулевые элементы находятся только в первой строке; поэтому

и

Имеем

После оценки норм слагаемых в правой части (8) можно записать неравенство

(9)

где

Для оценки через и величины поступим следующим образом. Выпишем неравенства (9) при .

В правой части оценки через оценим через , затем в правой части получившегося неравенства оценим через и т. д. В результате получим

или, что то же самое,

Упростим эту оценку, одновременно несколько загрубив ее. При имеем ; поэтому

Теперь из (10) получаем

(11)

Справедливы неравенства

и поэтому

Далее получаем оценку погрешности

где и — некоторые постоянные, зависящие только от коэффициентов исходной разностной схемы. В частности, зависят только от коэффициентов . Утверждение теоремы доказано.

Подставляя в (12) значение , получим искомую оценку погрешности

Из оценки (13) видно, что для сходимости решения разностного уравнения к решению дифференциального достаточно выполнения условий

Оценка погрешности (13) во многих случаях является существенно завышенной. Например, для методов Адамса можно получить оценку погрешности, остающуюся ограниченной в случае при сколь угодно большой длине промежутка интегрирования в предположении, что погрешности округления и погрешности аппроксимации равномерно ограничены: . Заметим, что из оценки погрешности для одношаговых методов (§ 4) следует оценка погрешности метода Эйлера, являющегося частным случаем методов Адамса. В то же время из (13) при таких предположениях нельзя получить равномерной ограниченности погрешности интегрирования. Для получения более реального представления о величине погрешности полезно располагать выражением для главного члена погрешности.

Наметим путь получения этого выражения. При достаточно гладкой функции согласно (6.5) справедливо равенство

Поскольку , то это выражение можно переписать в более удобном для нас виде

Предположим, что вычислительная погрешность мала по сравнению с погрешностью аппроксимации, точнее, .

При выполнении условий теоремы об оценке погрешности решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной, поэтому справедливо равенство . С учетом выписанных выше соотношений равенство (4) можно переписать в виде

Таким образом, сеточная функция приближенно удовлетворяет сеточному уравнению которое получается при аппроксимации уравнения

В предположении, что , рассуждая так же, как при доказательстве теоремы об оценке погрешности, получаем, что близко к решению уравнения (14) при начальном условии . Это решение можно выписать в явном виде:

Таким образом,

Сформулируем аналогичный результат, относящийся к случаю интегрирования системы уравнений. Для системы уравнений когда и - векторы: , выражение главного члена погрешности (15) имеет вид

Здесь матрица является решением матричного дифференциального уравнения

при начальном условии , где Е — единичная матрица, — матрица с элементами .

Проведенные выше рассуждения, каждый этап которых может быть строго обоснован, иногда облекают в более грубую форму. Точное решение дифференциальной задачи удовлетворяет соотношению

где

а приближенное решение — соотношению

поэтому их разность удовлетворяет равенству

Поскольку близки, это соотношение можно записать в виде

здесь — производная оператора . Поскольку операторы L и в определенном смысле близки, то можно написать

Напомним, что производная оператора L определяется равенством

Отсюда получаем приближенное равенство

где , и затем .

Второй путь вывода выражения для главного члена погрешности уже не поддается непосредственному обоснованию и в принципе может привести к неверным заключениям. Это видно хотя бы из того, что нигде не проявилось условие , без которого не имеет места сам факт малости величины . Справедливость получаемых на таком пути результатов требует специального обоснования.

В то же время его следует признать крайне полезным, поскольку не известно ни одного противоречащего примера, когда бы его применение приводило к неправильному выражению для главного члена погрешности в случае, если решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной.

Для некоторых методов, например Адамса и Рунге—Кутта, выражение главного члена погрешности, как правило, дает реальное представление о величине погрешности. В других случаях, например для метода (7.6), являющегося простейшим случаем так называемого метода Милна, это выражение следует рассматривать как некоторую оценку снизу для реальной величины погрешности.

Рассмотрим случай метода (7.6) и уравнения . Точное решение имеет вид

а . Согласно (15) имеем

Оценим в области . Поскольку эта функция стремится к нулю при и при , то ее наибольшее значение принимается в точке, где ее производная равна нулю, т. е. при . Отсюда следует, что при . Рассмотрим случай . Подставляя , получим . Отсюда и из (16) следует , и, таким образом, главный член погрешности равномерно ограничен при . В то же время из рассмотрения этого модельного примера, проведенного в § 7, вытекает, что реальная величина погрешности довольно сильно растет вследствие большого влияния погрешности начальных значений .

Казалось бы, в обрисованной выше ситуации есть какое-то противоречие. Говорится о главном члене погрешности, но в то же время утверждается, что он не является определяющим в реальной величине погрешности. Дело заключается в следующем.

При получении главного члена погрешности имелось в виду, что длина промежутка интегрирования фиксирована, а и h стремятся к нулю. При рассмотрении модельного примера в § 7 речь шла о поведении погрешности при h фиксированном, .

Как показало рассмотрение этого модельного примера, влияние погрешности исходных данных существенно уже при не очень больших значениях , поэтому широкое применение метода (7.6) в реальной практике является нецелесообразным, несмотря на малое значение главного члена погрешности при фиксированном.