§ 10. Конечные разности

Пусть узлы таблицы расположены на равных расстояниях: — соответствующие значения функции; величину h называют шагом таблицы.

Разности называют разностями первого порядка. В зависимости от точки, к которой ее относят, эту величину обозначают: — разность вперед, — разность назад, - центральная разность. Таким образом,

Разности высшего порядка образуют при помощи рекуррентных соотношений

Таблицу разностей обычно располагают в виде

В некоторых интерполяционных формулах наряду с упомянутыми выше величинами используются средние арифметические двух последовательных величин одного и того же столбца:

Лемма 1. Разности порядка выражаются через значения функции по формуле

где — коэффициенты бинома Ньютона.

Доказательство проводим методом индукции. При соотношение (2) выполняется согласно (1). Пусть оно доказано при . Имеем

Собирая коэффициенты при одинаковых и пользуясь равенством

получим требуемое выражение для величины . Лемма доказана.

Из (2) следует, что оператор конечной разности является линейным. В частности, из (2) имеем

Лемма 2. При справедливо равенство

Доказательство проводим по индукции. При имеем

Предположив, что соотношение (3) верно при всех , имеем

таким образом, (3) справедливо при . Лемма доказана.

Согласно (5.4) имеем , где . Сопоставляя это равенство с (3), получаем

(4)

Следствие. Конечные разности порядка от многочлена степени постоянны, а разности любого более высокого порядка равны нулю.

Рассмотрим влияние погрешности какого-либо значения на конечные разности различных порядков; пусть вместо стоит . Тогда имеем таблицу разностей

Мы видим, что в соответствии с (2) на разности порядка погрешность распространяется с коэффициентами . Если функция достаточно гладкая, то ее разности не очень высокого порядка могут оказаться малыми. В то же время на их фоне величины будут выглядеть достаточно большими. Из наблюдений над таблицей разностей можно указать значение функции, содержащее погрешность, и исправить его.

Точно так же можно обнаруживать погрешности, имевшие место при составлении таблицы разностей. Пусть, например,

Если бы какое-либо значение содержало относительно большую погрешность , то в третьих разностях это обстоятельство проявилось бы в наличии величин вида . В рассматриваемом случае третьи разности практически равны нулю, за исключением , которые примерно имеют вид , где . Это наводит на мысль, что была допущена погрешность при вычислении значения которая и имела следствием эти возмущения в третьих разностях. Этот прием широко использовался при ручном счете для устранения случайных погрешностей расчетчика и на первом этапе использования ЭВМ, когда ЭВМ были малонадежны. Существовавшая на первом этапе использования ЭВМ общая рекомендация по устранению ненадежности заключалась в следующем. Задачу предлагалось решить два раза. В случае несовпадения результатов полагалось просчитать задачу повторно, пока результаты двух расчетов не совпадут.

Описанный выше метод исправления таблиц позволяет в такой ситуации уменьшить объем вычислений примерно вдвое.

Пусть требуется составить таблицу какой-либо гладкой функции, каждое вычисление которой обходится очень дорого. Вместо того, чтобы считать каждое значение дважды, просчитываем сразу всю таблицу, составляем (вручную или с помощью ЭВМ) таблицу разностей и выявляем значения, которые нужно исправить (или повторным расчетом, или описанным выше приемом исправления таблиц). В настоящее время описанный прием используется для выявления погрешностей в результатах измерений.