Глава 2. Интерполяция и численное дифференцирование
В этой главе излагаются наиболее широко используемые способы вычисления приближенных значений функции и ее производных в случае, когда известны значения функции в некоторых фиксированных точках. Множество этих точек иногда задается нам внешними обстоятельствами, а иногда мы можем выбрать их по своему усмотрению.
Такого рода задачи приближения и приближенного дифференцирования часто возникают как самостоятельные в ситуациях, некоторые из которых будут рассмотрены ниже. Кроме того, алгоритмы решения этих задач используются как вспомогательные при построении методов вычисления интегралов, решения дифференциальных и интегральных уравнений. Наличие большого количества методов вызвано историческим развитием теории и практики решения прикладных задач. Многие методы возникли как варианты предшествующих, отличаясь от них формой записи, изменением порядка вычислений, имевшими цель уменьшить влияние погрешности округлений при вычислениях.
В то же время развитие вычислительной техники и теории численных методов приводит к непрерывному пересмотру и некоторому сужению совокупности применяемых методов.
Некоторые методы вышли из употребления по следующим причинам. Произошло увеличение разрядности чисел в ЭВМ, и как следствие этого оказалось несущественным различие в вычислительной погрешности в зависимости от последовательности арифметических операций; в результате этого в практике вычислений постепенно закрепились простейшие по форме методы. С другой стороны, усложнение модели задачи и требование уменьшения погрешности метода, как правило, требуют и существенного роста числа выполняемых арифметических операций. Несмотря на повышение разрядности чисел в ЭВМ, для ряда методов это обстоятельство приводит к недопустимо большому значению вычислительной погрешности (так называемой неустойчивости). Поэтому при повышении требований к точности результата ряд методов также был забракован и изъят из вычислительной практики. Тем не менее сохраняется положение, когда для решения каждой конкретной задачи можно применить довольно много методов.
