§ 5. Конечно-разностные методы
Среди 
-шаговых методов наиболее употребительны методы интегрирования на сетке с постоянным шагом 
при помощи соотношений вида
где 
— постоянные, 
— некоторые функции, определяемые функцией 
. В свою очередь, среди таких методов традиционно наиболее употребительны методы
которые принято называть конечно-разностными методами или конечно-разностными схемами.
В вычислительной практике применяются формулы (1), (2) со значениями 
- явные, или экстраполяционные, и формулы с 
— неявные, или интерполяционные.
Формулы (1), (2) при 
, называемые формулами с забеганием вперед, рассматриваться не будут, поскольку они не нашли распространения в вычислительной практике из-за сложности использования. Тем не менее их следует принимать во внимание при проведении теоретических рассмотрений, так как они расширяют класс используемых конечно-разностных схем. В дальнейшем предполагается, что 
. При 
уравнение (2) можно записать в виде
Здесь
не зависит от 
. Будем решать это уравнение методом простой итерации:
Поскольку 
, то при достаточно малых h выполнено 
условие сжимаемости отображения 
и поэтому итерационный процесс сходится. Начальное приближение 
определяется из какой-либо явной формулы
Число итераций на шаге определяется из разумного соотношения 
трудоемкостью итераций и точностью получаемых в процессе итераций приближений так же, как в случае формулы (2.4), являющейся частным случаем формулы (2).
Простейшие методы типа (2) получаются на основе квадратурных формул. Всякая квадратурная формула
где 
— остаточный член, порождает соответствующую формулу численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Действительно, подставляя в (3) соотношение 
, имеем
Заменяя 
на 
и отбрасывая 
, получим
Соответствующая конечно-разностная схема запишется следующим образом:
Например, формуле трапеций
соответствует интерполяционная формула
формуле Симпсона
-интерполяционная формула 
здесь 
. Квадратурной формуле прямоугольников, записанной в виде
соответствует экстраполяционная формула
Если остаточный член квадратуры (3) оценивается через 
, то погрешность равенства (4) будет оцениваться через 
.
В настоящее время из конечно-разностных методов, как правило, употребляются на практике только методы, соответствующие 
их называют методами Адамса.
Другие известные методы вида (2) не выдержали испытания на практике по следующим причинам:
1) отсутствует сходимость при уменьшении шага (в предположении отсутствия вычислительной погрешности) даже для бесконечно дифференцируемых правых частей 
;
2) при наличии сходимости происходит экспоненциальный рост (с увеличением X) погрешности в рассмотренном в предыдущем параграфе случае, когда 
;
3) для некоторых схем при 
возникают дополнительные (по сравнению со случаем 
неудобства при изменении шага интегрирования.
Явные формулы Адамса обычно записываются в виде
а неявные — в виде
здесь, как и в § 2.10,
Коэффициенты 
вычисляются по формулам
Задача 1. Показать, что
Обычно методы Адамса используются по следующей схеме. Сначала вычисляется нулевое приближение по явной формуле Адамса. и затем производятся 1-2 итерации на основе неявной формулы (с тем же значением 
).
