§ 2. Аппроксимация простейших гиперболических задач

Изучение многих важных прикладных задач требует численного решения краевых задач для систем уравнений с частными производными гиперболического типа. Такими системами являются, например, системы уравнений газовой динамики, которые являются квазилинейными системами.

Для решений таких систем типично наличие разрывов. В таких задачах в большинстве случаев отсутствует строгое исследование вопросов устойчивости разностных схем и сходимости, и реальный отбор разностных схем производится на примере простейших модельных задач, где его проще осуществить и теоретически, и путем численного эксперимента.

Простейшими примерами, на которых производился отбор конечно-разностных методов решения задач газовой динамики, являются уравнения

и

Далее будут рассмотрены некоторые явные аппроксимации уравнения (1), а затем и (2).

При практическом анализе разностных аппроксимации задачи Коши для гиперболических и параболических уравнений часто руководствуются следующим критерием, называемым спектральным признаком устойчивости.

Пусть на сетке с узлами — точками — построена некоторая разностная схема, например

выпишем все частные решения уравнения , имеющие вид

Спектральный признак устойчивости (СПУ).

Если при заданном законе стремления шагов и h к нулю существует , не зависящее от и h, такое, что

то разностная, схема может быть применена для, численного решения соответствующей задачи Коши. В противном случае от применения разностной схемы следует воздержаться.

В разумности СПУ можно убедиться, решив следующие задачи.

Задача 1. Пусть определена какая-то норма на сеточном слое по времени такая, что номер слоя не входит в определение нормы. Этому условию удовлетворяют, например, нормы

но не удовлетворяет норма

Пусть схема двухслойная и явная, т.е. имеет вид

и пусть СПУ не выполнен. Доказать, что ни для какого нельзя указать такое, что при всех выполнено соотношение .

Задача 2. Пусть , разностная схема (3) двухслойная и явная, т.е. имеет вид (7), и начальные условия финитные, т.е. при . Доказать справедливость оценки

при в случае нормы (6).

Если краевая задача корректна и условие (4) выполнено, то, как правило. удается построить аппроксимацию граничного условия так, чтобы сеточная задача была устойчива (корректна). В то же время можно привести примеры задач Коши (для систем уравнений), где спектральный признак устойчивости выполнен, а сеточная задача не удовлетворяет условию устойчивости (1.16).

Исследуем при помощи спектрального признака устойчивость ряда сеточных аппроксимаций задачи Коши для уравнения в полуплоскости .

Пример 1. Разностная аппроксимация

Подставляем сюда :

После сокращения на получим

(см. рис. 10.2.1). На рис. изображаются наборы узлов (шаблоны), по которым выписываются аппроксимации, и кривые, которые описывает точка на комплексной плоскости при изменении в пределах стрелка означает направление изменения при изменении от 0 до (при ) на рис. цифрой 1 обозначен единичный круг.

Мы имеем .

и условие (4) выполняется; в этом случае следует ожидать устойчивости.

Если , то

и условие (4) не выполняется ни при каком С; тогда сеточная аппроксимация неустойчива.

Эта аппроксимация практически не употребляется вследствие более жесткого по сравнению с другими схемами ограничения на шаг , необходимого для устойчивости, и сильного роста (как ) возмущения решения.

Пример 2. Разностная аппроксимация:

Аналогично (9) получаем

Если , то (см. рис. ) и следует ожидать устойчивости. Если при , то и аппроксимация неустойчива вследствие СПУ.

Аналогично показывается, что следует ожидать устойчивости схемы

при и .

Рис. 10.2.1

Рис. 10.2.2

Рис. 10.2.3

Рис. 10.2.4

Пример 3. Разностная аппроксимация:

При имеем (рис. 10.2.3)

и следует ожидать устойчивости. Если же при , то и аппроксимация неустойчива. Заметим, что эту аппроксимацию можно рассматривать как (8) с добавленной в нее для устойчивости «вязкостью»:

Пример 4. Аппроксимация «тренога». Приведенные выше аппроксимации имеют первый порядок по совокупности и h. Построим аппроксимацию второго порядка; для простоты будем отправляться от аппроксимации (8). Подставляя разложение Тейлора в точке , имеем

Из дифференциального уравнения (1) получаем . Приблизим выражением . Тогда соответствующая аппроксимация примет вид

Так же как и ранее, получаем

Если мы положим , то (см. рис. 10.2.4) можно написать

т.е. точки лежат на некотором эллипсе в комплексной плоскости, расположенном симметрично относительно оси .

Поскольку при , то в случае спектральное условие устойчивости не выполнено.

При имеем ; поэтому можно написать цепочку соотношений

Таким образом, при выполнено спектральное условие устойчивости.

Сделаем ряд общих замечаний.

1. Если при , то для всех выписанных аппроксимаций выполнялось соотношение

где — порядок аппроксимации по и h. Можно показать, что это условие является необходимым для того, чтобы имела место аппроксимация порядка точности.

2. Если , то все рассмотренные аппроксимации имеют вид

Поскольку решение задачи есть , то в этих случаях они абсолютно точные; при этом .

3. В тех случаях, когда аппроксимации некорректны вследствие СПУ, их можно было бы также забраковать при помощи теоремы Куранта.

4. В остальных случаях, т.е. для (10) при , для (11) при и для (12), (13) при , их устойчивость следует из решения задачи 2.

5. Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений (гл. 8, § 9) заслуживают внимания методы интегрирования с переменными шагами по времени, в ряде случаев являющиеся весьма эффективными.

Задача 3. Доказать, что аппроксимации (10) при (11) при и (12) при обладают следующим свойством: для их решений выполняется неравенство

если

и неравенство

если существует.

Задача 4. Доказать, что при использовании этих аппроксимаций при любом решение сеточной задачи монотонно по , если монотонно .

Это свойство монотонности делает схемы, удовлетворяющие условию (14), весьма удобными при интегрировании разрывных решений. Если при интегрировании разрывных решений употреблять аппроксимации, не обладающие таким свойством, то в разностном решении появляются паразитические волны, имитирующие разрывы и иногда мешающие пониманию истинной картины явления.

Сделаем ряд замечаний по поводу практического употребления этих аппроксимаций. Исторически первой была аппроксимация (12); она обладает следующим недостатком.

Если мы подставим в , разложение Тейлора в точке , то получим

Условия еще недостаточно, чтобы эта схема аппроксимировала исходное уравнение. Необходимо еще добавить условие . Требование корректности и ряд других условий при решении сложных задач приводят к тому, что отношение часто остается большим при малых и h. Качественно это ухудшение аппроксимации проявляется в появлении «вязкости» аппроксимации: все неровности решения, включая разрывы, сильно выглаживаются.

В случае, когда коэффициент а меняет знак, возможно совместное использование схем (10), (11), когда используется та или иная схема в зависимости от знака а. Одна из наиболее распространенных схем решения задач газовой динамики (схема Годунова) использует именно эту идею.

Аппроксимация (13) эффективна в случае гладких решений, но при наличии разрывов дает большое число паразитических волн. Поэтому она подвергается модификации в областях больших градиентов решения.

После построения аппроксимаций в применении к гиперболическим задачам долгое время казалось, что применение схем высокого порядка точности является неоправданным; такой вывод объяснялся тем, что все известные к тому времени аппроксимации второго порядка превращали разрывные решения в решения с большим числом паразитических волн.

Впоследствии теоретический анализ вопроса о качественных свойствах решений аппроксимаций при наличии разрывов показал, что этим свойством обладают все линейные аппроксимации второго порядка точности. Однако теоретические исследования предсказали, а практика подтвердила наличие аппроксимаций третьего порядка точности с удовлетворительным поведением решений разностных уравнений при наличии разрывов.

Рис. 10.2.5

На рис. 10.2.5 изображено поведение решений различных разностных аппроксимаций уравнения

сплошной линией обозначено точное решение, , —полученные расчетные значения по схемам (10), (13) и третьего порядка соответственно.

Рассмотрим пример применения СПУ в случае решения системы уравнений.

Пусть решается задача Коши для системы уравнений

условие обеспечивает гиперболичность системы.

Рассмотрим трехслойную разностную схему, аппроксимирующую исходную задачу с погрешностью :

Ищем частное решение системы в виде

После подстановки этих выражений в (15) получим

и, следовательно,

Эта система линейных уравнений относительно коэффициентов , имеет ненулевое решение, если определитель системы равен нулю. Получаем уравнение, связывающее и :

Отсюда

или

Таким образом, окончательно

Если , то подкоренное выражение неотрицательно и

Таким образом, при СПУ выполнен.

Задача 5. Показать, что при СПУ не выполнен.

Задача 6. С помощью теоремы об областях зависимости показать, что при решение сеточной задачи не обязательно сходится к решению дифференциальной задачи.

Пусть в области ищется функция , удовлетворяющая (3) и некоторым граничным условиям

относительно значений при , близких к нулю, и

относительно значений при , близких к М.

Примечание. Число уравнений относительно значений на каждом слое берется равным числу неизвестных , поэтому некоторые из уравнений (3) отбрасываются.

Для краевых сеточных задач с постоянными коэффициентами также имеется СПУ, часто позволяющий довольно просто отбраковать непригодные для счета разностные схемы. Можно показать, что разностная схема, не удовлетворяющая этому СПУ, неустойчива. Этот СПУ заключается в следующем.

1. Должен быть выполнен спектральный признак устойчивости задачи Коши (отличный от сформулированного ранее). Ищутся всевозможные частные решения (3) вида

СПУ задачи Коши состоит в том, что при заданном законе стремления к нулю

обозначение введено с целью подчеркнуть еще раз, что верхняя грань берется по множеству всех решений (18), удовлетворяющих условию (19).

2. Должно быть выполнено условие спектральной услойчивости «левой» краевой задачи, состоящее в следующем.

Рассмотрим «левую» краевую задачу

(с учетом примечания) и находим ее частные решения вида

СПУ левой краевой задачи имеет вид, аналогичный (20):

3. Точно так же рассматривается «правая» краевая задача

Ищутся ее частные решения вида такие, что . СПУ «правой» краевой задачи имеет вид

Заметим, что замена неизвестной переменной переводит «левую» краевую задачу в «правую» и наоборот и соответственно преобразуются друг в друга СПУ «левой» и «правой» задач.

Пример 5. Рассмотрим сеточную краевую задачу

(22)

Эта задача аппроксимирует дифференциальное уравнение

с краевыми условиями .

Исследуем спектральную устойчивость сеточной задачи в предположении, что const при стремлении к нулю.

1. СПУ задачи Коши. Ищем частные решения вида . После подстановки в (22) и сокращения на получаем уравнение

или, что то же самое,

Функция является решением одномерного конечно-разностного уравнения с постоянными коэффициентами (23), поэтому , где — корни характеристического уравнения

Согласно теореме Виета , поэтому

Для ограниченности при всех необходимо, чтобы . Полагая , из (24) получаем

Если , то и СПУ задачи Коши выполнен. В противном случае он не выполнен.

2. Спектральную неустойчивость «левой» краевой задачи мы докажем, «угадав» последовательность частных решений

таких, что . Ищем решение «левой» краевой задачи в виде . Подставляя , в (22) и сокращая на , получим

Подставляя в левое граничное условие (22), получим уравнение

Его корни ; корню , согласно (25), соответствует . Для этого частного решения имеем соотношения

Следовательно, СПУ этой задачи не выполнен и следует взять другую аппроксимацию граничного условия в точке 0.

Задача 7. Доказать, что аппроксимация граничного условия

соответствует «левой» краевой задаче, удовлетворяющей СПУ.

Пример 6. Рассмотрим «правую» краевую задачу. Как и в случае задачи Коши, получаем совокупность частных решений вида

где и связаны соотношением (25), причем, как и там, . Удобно представлять функцию в виде

Из правого граничного условия (22) получаем , поэтому , то , и наоборот; в обоих этих случаях при . Поэтому нас интересуют лишь решения с . Тогда и

Как и в случае задачи Коши, получаем, что СПУ выполнен при .

Рассмотренные выше разностные схемы относятся к классу явных; значения решения на верхнем слое вычисляются по значениям решения на нижних слоях по формулам вида :

ограничено при .

Если в разностное уравнение входят не менее чем два значения решения на верхнем слое, то такую схему относят к классу неявных схем. В этом случае значения сеточного решения на верхнем слое находят, решая некоторую систему уравнений

В случае, когда матрица С треугольная (а при решении систем уравнений в частных производных блочно-треугольная), разностную схему называют полуявной. Таким образом, полуявные схемы составляют подкласс неявных (С — треугольная матрица), а явные — подкласс полуявных (C - единичная матрица) разностных схем.

В случае неявных (в частности полуявных) схем возникает вопрос о построении алгоритма решения системы уравнений (26), устойчивых к влиянию вычислительной погрешности.

Рассмотрим простейшую полуявную схему для уравнения :

Ищем частные решения вида ; после подстановки такого представления в (27) получим

Таким образом, .

Задача 8. Пусть . Показать, что

Таким образом, СПУ не выполнен при .

В реальных вычислениях всегда участвует конечное число значений , соответствующих слою. Если мы выпишем уравнение (27) при , то получим систему из М уравнений относительно неизвестных .

Рассмотрим случай, когда решение ищется в прямоугольнике

Функция является решением уравнения . Если , то решение однозначно определяется заданием начальных условий при для нахождения решения достаточно задать ; при — задать .

В случае из граничных условий нам известно также, что и, таким образом, число уравнений равно числу неизвестных. Уравнение (27) можно представить в виде рекуррентной формулы для определения :

Если содержит некоторую погрешность , то вследствие (28) она порождает погрешность в , равную имеем . Таким образом, т.е. погрешности в значениях убывают и можно ожидать, что при вычислениях по формулам (28) накопление погрешности не приведет к нежелательным последствиям. В случае известно значение , и вычисления будем вести по рекуррентной формуле, вытекающей из (27):

Если , то и погрешность в значении породит погрешность такую, что . Таким образом, следует ожидать, что накопление вычислительной погрешности не будет существенным.

Замечание. Для расчетной формулы (28) соотношение выполнено и при , а для формулы (29) соотношение выполнено и при .

В этих случаях, однако, не выполнен спектральный признак устойчивости .

Предположим, что в области нас интересует решение задачи Коши при начальном условии , определенном при . Решение дифференциальной задачи определено в полосе .

Рассмотрим краевую задачу в прямоугольнике , задав произвольные гладкие функции при при , удовлетворяющие условиям согласования .

Применим для решения этой задачи полуявную схему (27), проводя вычисления на верхнем слое по рекуррентным формулам (28). Можно показать, что при гладкой функции в области полученное сеточное решение будет близко к решению задачи Коши.

При решении задачи Коши и краевых задач, особенно в случае систем уравнений, часто используется неявная схема

с порядком аппроксимации . Иногда эта схема используется как вспомогательная для получения решения на полуцелом слое, т. е. находятся из соотношений

далее используется явная формула

Рассмотрим случай той же самой задачи Коши. Если мы выпишем уравнение (30) при , то получим систему уравнения с неизвестным. На каждом слое нам не хватает двух уравнений. Значения , зададим как и ранее, используя граничные значения, а — по произволу. Систему уравнений (30) относительно значений будем решать методом прогонки.

Можно показать, что при гладкой функции и любом решение сеточной задачи сходится к решению дифференциальной в области, определяемой неравенствами

Для улучшения сходимости вместо задания часто целесообразнее взять так называемое «мягкое» граничное условие .