Глава 5. Многомерные задачи
Вопросы приближения, интерполирования, численного интегрирования и дифференцирования функций одной переменной, как видно из предшествующего, разработаны достаточно подробно. В настоящее время на основе результатов теоретических исследований созданы довольно развитые системы стандартных программ решения одномерных задач. Значительная часть результатов теоретических исследований для одномерного случая может быть перенесена на случай функций двух и более переменных; однако при этом могут появляться практически недостаточно эффективные методы.
При теоретических построениях задачи разбивают на классы, например выделяют класс задач вычисления интегралов от функций с ограниченными производными, а затем проводят исследования, связанные с этими классами задач. Конечно, принимаемое описание не всегда (скорее даже редко) хорошо описывает класс реально встречающихся задач, однако скорости современных ЭВМ таковы, что, несмотря на грубость описания одномерных задач, удается решать большинство из них, пользуясь стандартными методами, разработанными в результате теоретических исследований.
Трудоемкость решения задач резко возрастает с ростом их размерности, и поэтому, как правило, не удается разработать стандартные методы решения широких классов многомерных задач со столь же высокой точностью, как в одномерном случае.
Несколько утешает следующее обстоятельство. Многомерные математические задачи обычно возникают из описания сложных процессов. Обычно уже эти описания являются довольно грубыми, и поэтому значительно реже предъявляется требование решения этих задач с такой же высокой точностью, как в одномерном случае. Например, требования к точности решения уравнений газовой динамики существенно ниже требований, предъявляемых к решеншо уравнений баллистики и небесной механики.
Не следует, однако, думать, что решение многомерных задач является почти безнадежным делом. Развитие теории методов решения многомерных задач и повышение скорости работы ЭВМ, несомненно, повлекут за собой создание стандартных методов решения таких задан и, как следствие, снижение предъявляемых требований к квалификации пользователей.
В настоящее время трудность многомерных задач требует, как правило, привлечения к их исследованию специалистов более высокой квалификации.
В настоящей главе рассмотрены вопросы интерполирования, численного интегрирования и дифференцирования функций в случае нескольких пространственных переменных.
