§ 5. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения

После того как мы познакомились с вопросами устойчивости и сходимости для гиперболических задач на нестрогом уровне, перейдем к исследованию разностных схем для параболического уравнения в случае одной пространственной переменной на математическом уровне строгости.

Пусть требуется найти функцию , являющуюся решением уравнения

в области с начальными и краевыми условиями

Всюду далее будем считать, что функции , и таковы, что существует достаточно гладкое решение задачи (1), (2).

При построении разностной схемы поступим так же, как и ранее. Разобьем исходную область прямоугольной сеткой с шагами соответственно по координатам и t. Будем искать функцию , определенную в узлах сетки , то , которая является приближением функции и в . Обозначим, как и ранее, .

Заменим производные в (1) разностными отношениями. Производная в точке может быть заменена разностным отношением многими способами, например

В зависимости от способа аппроксимации будут получаться различные разностные схемы. Вторую производную по переменной заменим обычным способом:

Подставляя эти соотношения вместо соответствующих производных в (1), получим

(вторая схема получена после переобозначения . Функция является аппроксимацией .

Кроме уравнения (1) необходимо аппроксимировать начальные и граничные условия. Положим

Таким образом, уравнения (3), (5) и (4), (5) соответствуют некоторым разностным аппроксимациям краевой задачи для параболического уравнения (1), (2).

Найдем порядок погрешности аппроксимации разностной схемы (3), (5). Для этого подставим в (3) точное решение дифференциальной задачи. Так как

то

Таким образом, если положить , то порядок погрешности аппроксимации разностной схемы (3), (5) будет (граничные и начальные условия выполнены точно). Аналогично устанавливается, что порядок погрешности аппроксимации схемой (4), (5) задачи (1), (2) также равен .

Между схемами (3), (5) и (4), (5), однако, имеется принципиальная разница. Выясним ее суть. Из (3) следует соотношение

В силу того что значения известны, из (6) можно найти значения и т.д. Поэтому по известным значениям решение на следующем временном слое находится с помощью явных формул (6). Поэтому схема (3), (5) называется явной.

Преобразуя (4), имеем

При известных , соотношения (7) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных . Поэтому схема (4), (5) называется неявной. Система линейных уравнений (7) относительно вектора неизвестных , может быть записана в виде , где матрица А и вектор правой части b имеют вид

Для решения этой системы можно воспользоваться, например, методом прогонки, описанным в предыдущей главе.

Проведем исследование устойчивости этих разностных схем. Множество узлов вида , М, будем называть слоем. Пусть — сужение функции на слой, а — сужение правой части на внутренние узлы слоя. Введем нормы на слое

Разностную схему будем называть устойчивой в сеточной норме пространства С, если существует постоянная , не зависящая от шагов сетки h и , такая, что имеет место оценка

Исследуем вначале устойчивость явной схемы (3), (5). Имеет место

Теорема 1. Пусть . Тогда разностная схема (3), (5) устойчива в сеточной норме пространства С.

Доказательство. Перепишем (3) в виде

где . Если достигается во внутренней точке , то

В противном случае

Отсюда следует оценка

связывающая нормы функции на соседних слоях.

Представим теперь решение задачи (3), (5) в виде , где - решение задачи (3), (5) с правой частью , а - решение задачи (3), (5) с однородными граничными и начальными условиями. В силу оценки (9) для имеем

С другой стороны, для в силу той же оценки (9) получаем

если . Таким образом, окончательно имеем

Так как это неравенство справедливо при любом , то это и означает устойчивость разностной схемы в сеточной норме пространства С. Теорема доказана.

(Этот вывод можно было бы сделать, непосредственно используя соотношение (9) и не вводя в рассмотрение функции .)

Отметим, что постоянная в (8) получилась в данном случае зависящей от Т.

Если , то условие является необходимым и достаточным условием устойчивости.

Задача 1. Пусть . Доказать, что схема (3), (5) неустойчива.

Указание. Рассмотреть частные решения

Доказательство устойчивости разностной схемы (3), (5) было получено при соотношении на шаги сетки . Разностные схемы, которые обладают устойчивостью лишь при определенных соотношениях на шаги сетки, называются условно устойчивыми. Соответственно, если схема устойчива при любых сотношениях между шагами сетки, то такая схема называется безусловно устойчивой.

Покажем, что схема (4), (5) относится к классу безусловно устойчивых схем. Справедлива

Теорема 2. При любых h и для решения задачи (4), (5) имеет место оценка (8).

Доказательство. По аналогии с доказательством предыдущей теоремы преобразуем (4) к виду

Из всех значений , по модулю равных , возьмем то, которого индекс принимает наименьшее значение. Если или же , то (9) выполнено. Пусть теперь отлично от 0 и М. Поскольку (по определению ) и , то ; поэтому . Тогда

при любых h и для схемы (4), (5) получена оценка (9). Завершение доказательства теоремы совпадает с доказательством предыдущей теоремы. Таким образом, схема (4), (5) является безусловно устойчивой.

Между явной (3), (5) и неявной (4), (5) схемами имеется, таким образом, принципиальное отличие. Явной схеме соответствуют явные формулы для вычисления функции на слое по известным значениям на предыдущих слоях. Однако эта схема является условно устойчивой. Это приводит к тому, что при малом шаге h мы вынуждены выбирать слишком мелкий шаг по времени , чтобы обеспечить устойчивость. Это, в свою очередь, приводит к значительному увеличению затрат времени счета на ЭВМ и не может быть оправдано требованиями точности, если по временной переменной t решение достаточно гладкое. С другой стороны, при использовании неявной схемы можно значительно увеличить шаг по времени , однако при переходе от слоя к слою требуется каждый раз решать систему уравнений. Впрочем, в одномерном случае это не представляет проблемы. В частности, используя метод прогонки, можно получить при известном за операций, т.е. количество арифметических операций при переходе от слоя к слою по порядку будет тем же, что и в случае явной схемы. Это позволяет сделать вывод о том, что использование неявных схем в одномерном случае часто является более предпочтительным, так как ведет к уменьшению затрат времени счета на ЭВМ.

Перейдем теперь к исследованию устойчивости разностных схем (3), (5) и (4), (5) в других нормах, в частности в сеточных аналогах норм по слою. Так как исследование свойств схем (3), (5) и (4), (5) проводится по одной и той же методике, то имеет смысл объединить эти две схемы. Как и ранее, для наглядности сопоставим разностной схеме ее шаблон. В нашем случае для схем (3), (5) и (4), (5) шаблоны имеют вид, изображенный соответственно на рис. 10.5.1 и 10.5.2.

Рис. 10.5.1

Рис. 10.5.2

Пусть — функция, определенная на слое и принимающая в узле значение . Обозначим . Введем более общий, чем (3), (5) и (4), (5), вид схемы

Рис. 10.5.3

Постоянная в (11) называется весом и обычно берется в пределах . В частности, при выражение (11) переходит в , а при получаем (4). Разностную схему (11), (5) называют схемой с весами. Она имеет шеститочечный шаблон при (рис. 10.5.3). Схема (11), (5) является явной лишь при . Разностную схему (4), (5), чтобы отличить ее от других неявных схем вида (11) с , называют неявной схемой. Пусть

Как и выше, назовем величину

где - значения решения в узлах сетки , погрешностью аппроксимации разностной схемы (11) уравнения (1). Заметим, что граничные и начальные условия для функции выполняются точно. Используя разложение и в ряд Тейлора в точке , имеем

Отсюда

Таким образом, если , то при при .

Будем исследовать устойчивость по начальным данным, т. е. будем оценивать чувствительнось решения к возмущению начальных данных. Положим . Обозначим

Назовем разностную схему устойчивой по начальным данным в норме , если существует постоянная , не зависящая от шагов сетки , такая, что для решения задачи (11), (5) с справедлива оценка

В теории разностных схем установилась традиция, когда не делают различия между матрицей и порождаемым ею линейным оператором.

Обозначим через А оператор (матрицу), который функции со значениями в узлах ставит в соответствие функцию со значениями в тех же узлах равными . В случае уравнение (11) можно записать в виде

Матрица S называется матрицей или оператором перехода от слоя к слою. В общем случае S может зависеть от . Пусть — собственные числа матрицы S. Матрица S симметрична и поэтому . Функция может быть представлена в виде дискретной суммы Фурье

Из равенств

следует, что числа являются собственными значениями оператора . Из (11) получаем , т.е. . Поэтому

Таким образом, собственные числа , матрицы S имеют вид

Выясним, когда будет выполнено условие . Заменяя , его выражением через , получаем условие

Так как , то эти неравенства эквивалентны соотношениям

Правое неравенство выполнено всегда, а левое — при При последнее неравенство будет выполняться при любом , а при — если

Таким образом, нами получены достаточные условия устойчивости схемы (11), (5) по начальным данным. А именно, если , то при разностная схема (11), (5) безусловно устойчива; при схема устойчива, если шаги и связаны соотношением (14), т.е. схема (11), (5) в этом случае условно устойчива.

Предположим, что условие нарушается, т.е. что , где и не зависит от и . Положим . Тогда

В этом случае при , т.е. схема неустойчива.

Иногда используют несколько отличное определение устойчивости по начальным данным. Говорят, что разностная схема устойчива по начальным данным, если собственные числа оператора перехода лежат в круге радиуса . Покажем, что в рассматриваемом примере это определение согласуется с (13). Действительно, пусть — собственные числа матрицы S. Тогда . В этом случае при и имеем .

При исследовании разностных схем для более сложных задач, например при других типах граничных условий, более общем операторе в правой части уравнения (1) и т. п., доказательство устойчивости с использованием принципа максимума или метода Фурье вызывает определенные затруднения, а иногда исследование устойчивости этими приемами является просто невозможным. В этом случае исследование устойчивости разностных схем обычно проводится методом энергетических оценок.

Опишем кратко его суть на дифференциальном уровне. Пусть — решение задачи

Будем предполагать, что правая часть и функция таковы, что при любом существует интеграл и непрерывна по t. Умножим обе части уравнения (15) на и проинтегрируем по . Используя формулу интегрирования по частям, получаем энергетическое тождество

Для функции , которая при любом принадлежит пространству , обозначим .

Если функция такова, что для любой существует интеграл , то через , обозначим норму

Согласно определению имеем

При получении последней оценки было использовано -неравенство

которое следует из соотношений

В данном случае мы обозначили через , a - через .

Тогда из (16) следует неравенство

Для определенности можно было бы положить Проинтегрируем последнее неравенство по в пределах от нуля до Т. В результате получим

Здесь . Последнее неравенство называется энергетическим неравенством. Из него, в частности, следует, что решение непрерывно зависит от правой части и начальных условий.

Применим несколько похожую схему к исследованию устойчивости сеточной задачи (11), (5). Напомним, что — значение на слое, т.е. . В этом случае уравнение (11) может быть переписано в виде

где . В пространстве функций на слое (с нулевыми граничными условиями) введем скалярное произведение и нормы:

Заметим, что

поэтому (18) можно преобразовать к виду

Умножим обе части (19) скалярно на . Получим

Из формулы суммирования по частям

положив , имеем

Оператор является симметричным (см. гл. 9), поэтому

Используя полученные соотношения, преобразуем (20) к виду

Полученное равенство по аналогии с непрерывным случаем называют энергетическим тождеством.

Оценим скалярное произведение в правой части (21) при помощи -неравенства . Тогда из (21) имеем оценку

Выясним, при каких а выражение в квадратных скобках будет неотрицательным. Заметим, что здесь — произвольное положительное число, которое до сих пор не было фиксировано. При условие является достаточным, чтобы выражение в квадратных скобках было неотрицательным. В этом случае, фиксируя (например, можно положить ), из (22) получим

Проведем более детальное исследование устойчивости при . С учетом неравенства , которое было установлено ранее, из (22) получаем

Поэтому из выполнения соотношения следует справедливость (23). Таким образом, для справедливости (23) при достаточно выполнения соотношения

Используя оценку (23) рекуррентным образом, получаем

Последнее неравенство как раз и означает устойчивость разностной схемы (11), (5) по начальным данным правой части. При этом сумма в правой части (25) является квадратурной формулой для интеграла

Отметим, что если соответствующий интеграл сходится, то из (25) следует ограниченность сеточного решения на бесконечном промежутке времени.

Таким образом, схема (11), (5) по доказанному выше является безусловно устойчивой при и условно устойчивой (шаги h и удовлетворяют соотношению (24), не зависит от шагов сетки) при .

Нами практически не рассматривался вопрос об устойчивости по граничным условиям. Дело заключается в следующем. Возьмем функцию . В этом случае функция является решением задачи (1) с однородными граничными условиями и правой частью . Таким образом, если функции имеют произодные по , то граничные условия в задаче (1) могут быть сняты описанным способом. В сеточном случае, молено иначе свести задачу (11) с неоднородными граничными условиями (5) к задаче с однородными условиями. Пусть решение сеточной задачи. Положим

В этом случае удовлетворяет однородным граничным условиям (5), начальным условиям (5) и системе уравнений (11) при , замененной на , где

Таким образом, задача (11), (5) с неоднородными граничными условиями может быть записана как задача с однородными граничными условиями и некоторой измененной правой частью.

Получим оценку скорости сходимости. Будем рассматривать схему (11), (5), так как остальные схемы являются ее частным случаем. Пусть — решение дифференциальной задачи (1), — решение разностной задачи (11), (5). По определению , где — погрешность аппроксимации. Рассмотрим разность . Она удовлетворяет уравнению

Таким образом, является решением задачи (11) с правой частью , равной погрешности аппроксимации, и однородными граничными и начальными условиями (5). Если рассматриваемая схема устойчива, то справедлива оценка (25), откуда

В силу того что при и при из последней оценки получаем, что при выполнении условия устойчивости решения сеточной задачи (11), сходятся к решению дифференциальной задачи и в сеточной норме . При этом порядок скорости сходимости равен порядку аппроксимации схемы.

Таким образом, решение сеточной задачи сходится к решению дифференциальной задачи со скоростью, по порядку совпадающей с порядком аппроксимации разностной схемы.

Сходимость разностных схем была установлена в сеточной норме пространства на слое. Для получения оценки скорости сходимости в других нормах следует воспользоваться соответствующими оценками устойчивости либо использовать сеточные теоремы вложения (см. § 9.8). В частности, из теоремы вложения

следует сходимость разностной схемы с порядком, равным порядку аппроксимации, в сеточной норме пространства С.

Рассмотрим аппроксимацию граничных условий другого типа. Пусть, например,

Заменяя в (27) производную разностным отношением, получаем аппроксимацию граничного условия

Оценим погрешность такой аппроксимации. Имеем

Таким образом, построенная аппроксимация (28) граничного условия (27) имеет первый по h порядок аппроксимации. Для повышения порядка аппроксимации воспользуемся приемом, который применялся при аппроксимации условия (27) в краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений. Из уравнения (1) выразим Получим . Тогда

либо

Подставив это выражение в (29), получим

Таким образом, аппроксимация граничного условия (27) с порядком будет иметь вид

либо

Можно также использовать линейную комбинацию этих условий

Из построения следует, что аппроксимация граничного условия (32) имеет порядок . Непосредственно можно убедиться, что при условие (32) аппроксимирует (27) с порядком .

Рис. 10.5.4

Заметим, что шаблон, на котором осуществляется аппроксимация, содержит в общем случае только четыре узла (0, n), (1, n), (0, n+1), (1, n+1) (см. рис. 10.5.4). Поэтому структура матрицы линейных уравнений для нахождения в неявных схемах фактически не изменится: матрица будет иметь трехдиагональный вид. Исследование устойчивости разностных схем, аппроксимирующих краевые условия третьего рода, проводится методом энергетических оценок по схеме, описанной выше. По аналогии с построениями, проводившимися для краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, можно строить схемы повышенного порядка точности, например или же .