§ 2. Оценки погрешности квадратуры

Пусть вычисляется интеграл (1.2). Если квадратура точна для многочленов степени , то

поэтому

при любом многочлене степени . Оценивая в каждое слагаемое, получим оценку

где

Поэтому

при любом — многочлене степени ; здесь

Взяв в правой части нижнюю грань по всем многочленам степени , получим оценку

(1)

где

Построенные выше простейшие квадратурные формулы и ряд более сложных квадратур удовлетворяют условию , если в рассмотренных нами примерах .

Условие, что квадратура точна для многочлена нулевой степени, т.е. для функции , имеет вид

При и имеем

поэтому . Обращаясь к (1), получим оценки

где — любой многочлен степени . Если в качестве взят интерполяционный многочлен по нулям многочлена Чебышева, то на основании (2.9.3) имеем

В конкретном случае для веса и формул прямоугольников, трапеций, Симпсона, где все имеем и

В частных случаях, например для формул прямоугольников и трапеций, где , отсюда имеем

для формулы Симпсона, где имеем

Эти оценки одинаковы для всех квадратур, точных для многочленов какой-то определенной степени, например для формул трапеций и прямоугольников. Можно получить и более точные оценки погрешности этих квадратур.

Опишем универсальный способ получения наиболее точных оценок. В качестве возьмем сумму первых членов разложения функции по формуле Тейлора в какой-либо точке отрезка . Для определенности возьмем и рассмотрим случай, когда все . Пусть — такая сумма, - ее остаточный член:

Имеем равенство

Остаточный член формулы Тейлора возьмем в интегральной форме:

В двукратном интеграле

сделаем интегрирование по t внешним, а по — внутренним. Получим

где

Таким образом, получим

Положим

Используя это обозначение, представим погрешность в виде

Отсюда следует оценка погрешности

Если не меняет знака на отрезке , то по теореме о среднем из (3) получаем

Далее для простоты положим .

Задача 1. Предположим, что в качестве берется сумма члена разложения функции в ряд Тейлора относительно произвольной точки . Доказать, что представление погрешности (3) при этом не изменится.

Задача 2. Пусть точка а фиксирована, непрерывна в точке . Доказать, что при

где определено в (3).

Рассмотрим для примера формулу трапеций. Тогда

подставляя в (5), получим

т.е.

В случае формулы прямоугольников

подставляя в (5), получим

Часто на практике интересуются не оценкой погрешности (5), которая не поддается улучшению, а ее главным (при ) членом

Если для некоторого оказалось, что соответствующий интеграл равен нулю, то это значит, что квадратура точна для многочленов степени . В этом случае надо увеличить на 1 и провести аналогичные рассуждения для этого нового значения .

Для вычисления главного члена погрешности можно поступить следующим образом. Представим в виде суммы первых членов разложения Тейлора относительно некоторой точки и остаточного члена; при этом, объединив первые слагаемых в многочлен степени , получим

где

Вследствие линейности функционала погрешности имеем равенство

Первое слагаемое обращается в нуль, так как квадратура точна для многочленов степени . Поскольку

(при условии, что ), то

является главным членом погрешности . Для простоты выкладок при конкретном вычислении часто удобно произвести замену переменных

и рассматривать разложение в ряд Тейлора относительно точки .

Задача 3. Проверить, что

Задача 4. Доказать, что не зависит от выбора .

В частном случае для формулы трапеций имеем

поэтому погрешность с точностью до членов высшего порядка имеет вид