§ 1. Метод неопределенных коэффициентов

Решение ряда многомерных задач часто сводится к решению следующих элементарных задач.

Пусть в некоторой области -мерного пространства G заданы точки и значения функции в этих точках. Требуется:

1) получить приближение к значению функции ;

2) получить приближение к значению некоторой производной функции в точке Р;

3) вычислить интеграл

где — некоторая весовая функция.

Простейшим способом решения этих задач является многократно применявшийся нами в конкретных случаях метод неопределенных коэффициентов. Пусть из каких-то соображений известно, что функция хорошо приближается линейными комбинациями вида

Потребуем, чтобы такая линейная комбинация совпадала с в заданных узлах, т. е. выполнялись равенства

Предположим, что . Тогда матрица имеет обратную и решение системы (1) записывается в виде

Функция

совпадает с функцией в точках . Подставляя в предыдущее соотношение из (2), получим иное представление , а именно:

Такая форма записи интерполяционной функции является аналогом записи интерполяционного многочлена в форме Лагранжа. Как и в одномерном случае, можно надеяться, что при удачном выборе узлов и функций будет мала погрешность в приближенных равенствах:

где .

Как отмечалось в гл. 2 для одномерного случая, при неудачном выборе большого числа узлов интерполирования погрешность приближенного равенства (4) может оказаться катастрофически большой. Поскольку приближенные равенства (5), (6) являются следствием приближенного равенства (4), то может быть большой и погрешность в приближенных равенствах (5), (6). Поэтому применение соотношений требует обоснования и выяснения условий законности использования.