Глава 1. Погрешность результата численного решения задачи

В этой главе объясняются источники возникновения погрешности решения задачи, даются основные правила задания приближенных величин и оценивается погрешность как простейших, так и более сложных функций от приближенно заданных величин.

В дальнейшем конкретные оценки этой главы по существу не используются, но сам разговор о них необходим для понимания реальной обстановки, в которой используются рассматриваемые в книге методы решения задач.

§ 1. Источники и классификация погрешности

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами:

1) математическое описание задачи является неточным, в частности неточно заданы исходные данные описания;

2) применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения возникающей математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций; поэтому вместо точного решения задачи приходится прибегать к приближенному;

3) при вводе данных в машину, при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления.

Погрешности, соответствующие этим причинам, называют:

1) неустранимой погрешностью,

2) погрешностью метода,

3) вычислительной погрешностью.

Часто неустранимую погрешность подразделяют на две части:

а) неустранимой погрешностью называют лишь погрешность, являющуюся следствием неточности задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи;

б) погрешность, являющуюся следствием несоответствия математического описания задачи реальности, называют, соответственно, погрешностью математической модели.

Дадим иллюстрацию этих определений. Пусть у нас имеется маятник (рис. 1.1.1), начинающий движение в момент . Требуется предсказать угол отклонения от вертикали в момент .

Дифференциальное уравнение, описывающее колебание этого маятника, берется в виде

где - длина маятника, - ускорение силы тяжести, - коэффициент трения.

Как только принимается такое описание задачи, решение уже приобретает неустранимую погрешность, в частности, потому, что реальное трение зависит от скорости не совсем линейно; другой источник неустранимой погрешности состоит в погрешностях определения . Название этой погрешности — «неустранимая» — соответствует ее существу: она неконтролируема в процессе численного решения задачи и может уменьшиться только за счет более точного описания физической задачи и более точного определения параметров. Дифференциальное уравнение (1) не решается в явном виде; для его решения требуется применить какой-либо численный метод. Вследствие этой причины и возникает погрешность метода.

Вычислительная погрешность может возникнуть, например, из-за конечности количества разрядов чисел, участвующих в вычислениях.

Рис. 1.1.1

Введем формальные определения.

Пусть I — точное значение отыскиваемого параметра (в данном случае — реальный угол отклонения маятника в момент времени ), - значение этого параметра, соответствующее принятому математическому описанию (в данном случае значение решения уравнения (1)), — решение задачи, получаемое при реализации численного метода в предположении отсутствия округлений, — приближение к решению задачи, получаемое при реальных вычислениях. Тогда

Полная погрешность , равная разности между реально получаемым и точным решениями задачи, удовлетворяет равенству

Во многих случаях под термином погрешность того или иного вида понимают не рассмотренные выше разности между приближениями, а некоторые меры близости между ними. Например, в скалярном случае полагают

при таких обозначениях вместо (3) получаем

В других случаях решение и приближения оказываются элементами некоторых функциональных пространств, часто различных. Например, может быть элементом пространства F непрерывных на [0, 1] функций, а - элементом пространства , сеточных функций , определенных в точках — целое. Тогда в качестве меры погрешности вводят некоторую меру близости , где и могут быть элементами как одного, так и различных пространств. Требования на эту меру близости — возможность принять ее за естественную меру погрешности и выполнение неравенства треугольника

при любых . При этом не накладывается условие: если , то таким образом, функция не обязательно является расстоянием в некотором метрическом пространстве. Например, можно положить

независимо от того, каким пространствам принадлежат и .

Может возникнуть такой вопрос по поводу проблемы исследования неустранимой погрешности: зачем изучать неустранимую погрешность решения задачи, если она «неустранима»? По крайней мере такая точка зрения кажется оправданной, если математик получает для численного решения задачи уже готовые уравнения, не участвуя в обсуждении физической постановки задачи.

Это возражение нельзя признать разумным. Часто математик сам занимается исследованием постановки задачи, анализом и упрощением рассматриваемых уравнений. Поскольку все явления в природе взаимосвязаны, в принципе невозможно математически точно описать никакой реальный процесс, происходящий в природе. Однако анализ влияния различных факторов на погрешность решения может позволить получить простейшее описание процесса с допустимой погрешностью.

Обычно математик имеет представление о требуемой окончательной точности результата, и, исходя из этого, он может производить необходимые упрощения исходной задачи.

Если математик не участвует в обсуждении физической постановки задачи, то представление о величине неустранимой погрешности ему все равно необходимо по следующей причине. При решении большинства задач нет особого смысла применять метод решения задачи с погрешностью, существенно меньшей, чем величина неустранимой погрешности. Поэтому, имея представление о величине неустранимой погрешности, можно разумно сформулировать требования к точности результата численного решения задачи.

Непомерные требования заказчика к точности результата часто вызваны тем, что он имеет преувеличенные представления о возможностях ЭВМ и поэтому серьезно не продумывает, что все-таки ему нужно.

Такие требования часто снимаются в процессе обсуждения задачи на основе следующих соображений:

1) при более детальном подходе к изучению задачи в целом оказывается, что столь высокая точность и не нужна;

2а) математическая модель явления настолько груба, что требовать столь высокую точность бессмысленно;

2б) параметры модели не могут быть определены с высокой точностью;

3) заказчику нужен вообще не количественный, а качественный результат, например такого типа: будет ли работать данное устройство в заданном режиме или нет.

Разберем некоторые встретившиеся нам реальные задачи. К решению была предъявлена система интегральных уравнений с сильно осциллирующими ядрами с числом перемен у ядер порядка . Требовалось получить решение с относительной погрешностью (определение см. далее) порядка . Эта система описывала режим работы некоторого оптического устройства. Решение такой системы интегральных уравнений непомерно сложно даже для современных ЭВМ, поэтому был предпринят ее подробный анализ. Оказалось, что относительные погрешности характеристик системы, обусловленные технологией изготовления устройства, являются величинами порядка , поэтому нет смысла решать задачу со столь высокой точностью, как требовалось вначале. В результате требования к точности искомого решения были снижены до относительной погрешности . Однако и такая точность все равно еще требовала непомерных затрат машинного времени.

Дальнейший анализ задачи показал, что по существу заказчика интересовал ответ только на один вопрос — будет ли данное устройство устойчиво функционировать или нет?

Естественно было предположить две возможности:

1) при малых значениях параметра решение плавно зависит от этого параметра, поэтому при , меньших достаточно малого , система будет работать в одном режиме — или всегда устойчиво, или всегда неустойчиво;

2) при малых значениях решение существенно меняется при изменении этого параметра, и интервалы значений параметра , где режим работы устойчив, перемежаются с интервалами значений, где режим работы неустойчив. В связи с этим были предприняты расчеты при довольно крупном значении с последующим уменьшением значений с тем, чтобы понять, какая из двух указанных выше возможностей реализуется.

Расчеты показывали, что при изменении в пределах от до имел место устойчивый режим работы устройства и был сделан вывод (подтвержденный потом экспериментально, после конструирования реального устройства) об устойчивости его работы при . В случае второй возможности, вследствие грубости изготовления устройства, вряд ли удалось бы вообще исследовать вопрос об устойчивости его работы при . Другой, на первый взгляд выглядящий курьезным, но на самом деле весьма типичный пример реальной ситуации. Перед математиками была поставлена задача создания алгоритма и программы быстрого (менее чем за 1 с машинного времени) вычисления интегралов специального вида с относительной погрешностью . Эта задача была ими успешно решена, т. е. был разработан метод вычисления таких интегралов и на его основе создана стандартная программа. В свою очередь исследователи, поставившие задачу, не скупясь на затраты машинного времени, для проверки качества предложенного математиками метода и надежности программы сами вычислили приближенно один из таких интегралов с относительной погрешностью, по их мнению, . Но оказалось, что все попытки решить эту, так называемую тестовую задачу с погрешностью, лучшей, чем , с помощью созданной математиками программы оканчивались неудачей. Возникло предположение о погрешности в самой тестовой задаче. Оказалось, что число было взято равным 3,14, что вносило в тестовый пример неустранимую погрешность, которая, естественно, не могла быть устранена никакими усилиями математиков, создававших алгоритм и программу.