§ 12. Проблема собственных значений

В различных случаях возникают разные требования к информации о собственных значениях и собственных векторах матриц, и это порождает многообразие проблем и приемов решения этой задачи.

1. Для решения ряда задач механики, физики, химии требуется получение всех собственных значений, а иногда и всех собственных векторов некоторых матриц. Эту задачу называют полной проблемой собственных значений.

2. В ряде случаев требуется найти лишь максимальное или минимальное по модулю собственное значение матрицы. Проблемы подобного сорта возникают, в частности, при решении некоторых задач ядерной физики. Здесь приходится решать задачи, эквивалентные задачам отыскания собственных значений матриц размерности порядка или даже существенно большей. При малых размерностях матриц для решения этих задач чаще применяют итерационные методы, при больших — вероятностные.

3. При исследовании колебательных процессов иногда требуется найти два максимальных по модулю собственных значения матрицы, причем меньшее из них обычно достаточно определить с меньшей точностью.

4. Там же возникает задача отыскания собственного значения матрицы, наиболее близкого к заданному числу , или отыскания расстояния от заданного числа до спектра матрицы.

Формально рассуждая, можно было бы сказать, что эти задачи, называемые частичными проблемами собственных значений, являются частным случаем общей проблемы собственных значений и достаточно ограничиться рассмотрением методов решения общей проблемы. Однако такой подход приведет к неоправданно большому объему вычислений. При обсуждении постановок конкретных задач, связанных с отысканием собственных значений матриц, зачастую значительные усилия тратятся именно на установление минимального объема информации о спектре матрицы, которым можно ограничиться.

Решение задач 2-4 обычно сводят к отысканию максимального по модулю собственного значения некоторой матрицы такой, что это собственное значение соответствует отыскиваемому собственному значению матрицы А.

Рассмотрим случай, когда все собственные значения матрицы А вещественны. Если требуется найти максимальное или минимальное значение матрицы А, то следует взять . Очевидно, что при достаточно больших положительных (отрицательных) значениях с максимальному по модулю собственному значению матрицы соответствует максимальное (минимальное) собственное значение матрицы А. В случае задачи 4 при некотором с максимальное по модулю собственное значение матрицы соответствует отыскиваемому собственному значению матрицы А. Иногда в качестве такой матрицы может использоваться матрица . При этом матрица не выписывается в явном виде, а необходимые по ходу вычислений векторы находят, решая систему уравнений .

Рассмотрим типичную задачу отыскания двух максимальных по модулю собственных значений матрицы А. Для простоты предполагаем наличие полной системы собственных векторов :

Зададимся некоторым вектором и будем последовательно вычислять векторы . Представим в виде ; имеем

Отсюда следуют соотношения

Положим

Из последних соотношений при получаем

Задача 1. Доказать, что в случае симметричной матрицы .

Кроме (1) имеем

здесь . Таким образом, в ходе этого итерационного процесса также получаем собственный вектор, соответствующий .

Может случиться, что у матрицы А имеются два максимальных по модулю собственных значения . В этом случае величина будет устанавливаться только в частном случае, когда или равно нулю. Если заранее известно, что таких собственных значений два, то их и соответствующие им собственные векторы можно также определить, анализируя поведение и .

Рассмотрим типичный случай, когда вещественные, . Тогда

Отсюда получаем, что

При полагаем . Имеем

поэтому

Точно так же

и

Если — собственные значения матрицы А, то у сопряженной матрицы собственным значением будет ; при этом если , .

Поэтому при для нахождения собственного значения можно поступать так. Получив приближение , аналогично определяем приближение к вектору и нормируем его условием . Далее ведем итерации по формулам для исключения компоненты, пропорциональной время от времени векторы ортогонализируем по отношению к вектору , т.е. начальным для последующих итераций вместо берем вектор .

Естественно, что сходимость итерационного процесса лучше, если в начальном приближении слагаемое преобладает над остальными слагаемыми. Возьмем из описанного выше итерационного процесса отыскания некоторое приближение . Вектор примем за начальное приближение. Не следует брать слишком малым, иначе компоненты при не будут малы по сравнению с , в то же время не следует брать очень большим, поскольку в этом случае компонента будет малой по сравнению с вычислительной погрешностью.

Часто можно встретить следующее высказывание: если , то описанный итерационный процесс, казалось бы, не должен давать приближения, сходящиеся к максимальному по модулю собственному значению; однако в действительности из-за присутствия округлений в процессе итераций может появиться компонента, пропорциональная , и вследствие этого требуемый результат все равно будет получен.

Реально при использовании современных ЭВМ с большой разрядностью может случиться, что после некоторого числа итераций влияние вычислительной погрешности еще не будет существенно, в то время как величина будет

мала по сравнению с . Тогда и можно сделать неверный вывод, что искомое первое собственное значение найдено. Поэтому в тех случаях, когда нет уверенности в правильности найденного собственного значения, следует провести еще один или несколько расчетов с другими значениями ряде случаев появление составляющей, пропорциональной , не является неизбежным даже в случае присутствия округлений. При решении проблемы собственных значений для дифференциальных и интегральных операторов иногда возникают матрицы А со специфическими свойствами. Например, часто встречается случай, когда при всех выполняется равенство

Для определенности рассмотрим случай четного . Назовем четными векторы , компоненты которых связаны равенством , и нечетными—равенством . При условии (2) вектор четен, если четен, и нечетен, если нечетен. Поэтому подпространства четных и нечетных векторов являются собственными для оператора А.

Следовательно, существует полная система собственных векторов, принадлежащих этим подпространствам, т. е. являющихся или четными, или нечетными. Это обстоятельство может быть существенно использовано: если вектор четен или нечетен, то этим же свойством обладают все векторы , поэтому при отыскании каждого последующего вектора следует ограничиться определением первой половины его компонент. Кроме этого, можно объединить коэффициенты, соответствующие компонентам Например, при четном вычисления компонент можно производить по формулам

В случае итераций такого вида мы не выходим за пределы подпространств четных или нечетных векторов соответственно. Поэтому если принадлежат различным подпространствам, составляющая, пропорциональная , так и не появится.

Кроме непосредственного уменьшения вычислений при отыскании каждого вектора , использование свойства (2) полезно также по следующей причине. Довольно типичен случай, когда собственные векторы с небольшими нечетными номерами являются четными, а с небольшими четными номерами — нечетными; предположим, что . Тогда при четном всегда

следовательно,

Соответственно при нечетном имеем

и

При этом не возникает никакой проблемы подавления составляющей, пропорциональной .

Если , то при , поэтому при достаточно большом произойдет переполнение разрядности чисел и остановка ЭВМ. Если , то , и вследствие конечности порядков чисел в машине может случиться, что, начиная с некоторого . Чтобы избежать этих явлений, полезно время от времени нормировать вектор , чтобы .

Для практической оценки погрешности и ускорения сходимости итерационных процессов может быть применен -процесс и другие приемы, аналогичные методам ускорения сходимости при решении систем линейных уравнений. Например, могут применяться итерации вида со специальным подбором в зависимости от известной информации о спектре матрицы А многочлена .

Поскольку

при , то некоторые приемы отыскания максимального и минимального собственных значений матрицы А основываются на идее отыскания стационарных точек функционала .

Задача 2. Пусть при . Построить итерационный процесс вида для получения с наилучшей при данной информации скоростью сходимости.

Сделать то же самое, если при .