§ 11. Улучшение сходимости вариационных методов в нерегулярном случае

Погрешность итерационных методов существенно зависит от точности, с которой можно приблизить решение функциями из пространства, в котором ищется решение. Рассмотрим некоторые задачи, в которых при использовании вариационных методов имеет смысл несколько усложнить построение системы базисных функций.

1. В случае разрывного коэффициента производная также разрывна, поэтому решение плохо приближается кусочно-линейными функциями. В то же время выражение является дифференцируемой функцией. Поэтому для достижения более высокой точности целесообразно искать приближение в виде функции, которая на каждом из отрезков является решением уравнения , или, что то же самое, . В этом случае получается вариационно-разностная схема, имеющая в сеточной норме , порядок сходимости даже при измеримых функциях . Под нормой , понимаем выражение

являющееся сеточным аналогом нормы пространства .

2. Иногда оказывается, что решение имеет особенность в конечном числе точек, а вдали от них является гладким. Например, относительно решения иногда можно установить, что оно имеет вид

где — известные функции, а — неизвестная гладкая функция. Если некоторые из коэффициентов , например , известны, то следует перейти к новой неизвестной функции

Далее рассматриваем случай — все неизвестны. Приближение для гладкой части ищем в виде

где те же, что и в (10.9), т.е. решение ищется в виде

с неизвестными коэффициентами и при дополнительном условии на эти коэффициенты, имеющем вид . (Здесь для определенности мы приняли, что линейно независимы.) Функции в отличие от функций имеют носитель, размеры которого не стремятся к нулю при уменьшении шага сетки. Поэтому строки матрицы , соответствующие функциям , как правило, будут полностью заполнены. Матрица системы уже не оказывается трех-диагональной. Перестановкой строк и столбцов ее можно преобразовать к виду, где . если одновременно . Если решать эту систему методом Гаусса при обратном порядке исключения неизвестных, то общее число арифметических операций оказывается, как и в случае трехдиагональных матриц, порядка . В описываемом случае надо особенно внимательно следить за погрешностью метода решения задачи (включающей в себя погрешность приближенного вычисления интегралов) и вычислительной погрешностью.

Рассмотрим в качестве примера краевую задачу

Формально говоря, решение не имеет особенности. Однако при малом имеется пограничный слой, где производные от решения велики и решение плохо приближается функциями вида (10.9). Из теории асимптотических методов известно, что в окрестности точки решение хорошо приближается линейными комбинациями функций вида , а в окрестности точки X — функций вида . Поэтому приближенное решение имеет смысл отыскивать в виде

здесь — неизвестные коэффициенты.