§ 10. Итерационные методы с использованием спектрально-эквивалентных операторов

Кроме методов простой итерации вида

часто применяются итерационные методы

где матрица такова, что система уравнений легко может быть решена. Если соотношение (2) умножить на , то получится

Таким образом, итерационный процесс (2) равносилен методу простой итерации с матрицей Е — .

Рассмотрим случай, когда и отношение максимального М и минимального из собственных значений матрицы А велико. Тогда рассматривавшиеся ранее итерационные процессы сходятся медленно. Пусть и

Предположим, что система уравнений с матрицей В легко решается и .

В случае, когда отношение не очень велико, итерационные методы типа рассматриваемых в настоящем параграфе принято условно называть итерационными методами c. использованием спектрально-эквивалентных операторов (Л. В. Канторович, Е. Г. Дьяконов). В настоящее время эти итерационные методы называют методами с переобуславлива-нием, а матрицу (оператор) В переобуславливателем. Покажем, что при удачном подборе матрицы В метод итераций (2) обладает лучшей сходимостью по сравнению с простейшим методом (1). Точное решение X удовлетворяет равенству

вычитая его из (2), получим уравнение относительно погрешности

Приведем матрицу В при помощи ортогонального преобразования к диагональному виду. Пусть , где

— ортогональная матрица. Заметим, что все . Через принято обозначать матрицу вида

Очевидно, . Умножим обе части уравнения (4) слева на и положим . Получим равенство

где .

Вследствие соотношений , матрица С симметрична. Рассмотрим выражение

Положив , можем написать равенство

Согласно (3) имеем , поэтому все собственные значения матрицы С также принадлежат отрезку .

При собственные значения матрицы по модулю не превосходят величины . Поэтому и аналогично (6.13) имеем

Напомним, что

Если при всех , то из (6) следует оценка

Так как функция

монотонно убывает с уменьшением , то скорость сходимости нового итерационного процесса быстрее, чем у (1).

При окончательном решении вопроса о переходе от итераций по формулам (1) к итерациям по формулам (2) следует учесть количество арифметических операций, выполняемых во время этих итераций. Если итерации по формулам (2) требуют существенно большего количества операций, то такой переход может оказаться нецелесообразным.

Задача 1. Пусть — количество арифметических операций, выполняемых во время одной итерации по формуле (1), — количество арифметических операций, выполняемых во время одной итерации по формуле (2). Привести соображения в пользу того, что переход к итерациям по формуле (2) целесообразен, если

По аналогии с тем, как по итерационному методу (1) был построен метод (2), можно построить аналог любого из рассматривавшихся в методов.

Пусть имеется итерационный процесс, где погрешности последующих приближений связаны равенством

Напишем равенство

где , положим и умножим (7) слева на . Получим уравнение

Такое уравнение для погрешности соответствует итерационному процессу

Если произвести оптимизацию параметров так, чтобы оценка отношения норм была наилучшей, то так же, как в § 6, получится наилучший итерационный метод вида (8).

Аналогом оптимального линейного итерационного метода (6.25), (6.26) будет итерационный процесс

где строятся так же, как по М и (см. ). Объединением метода (2) с методом наискорейшего спуска является следующий метод. Приближение ищется из соотношения

При этом коэффициент определятся из условия минимума функционала

Из (9) получаем

Поскольку

то условие является линейным уравнением относительно . Аналог итерационного процесса (9.10) имеет вид

Методы, рассмотренные в этом параграфе, получили широкое применение при решении систем уравнений с большим разбросом собственных значений матрицы .