Глава 10. Методы решения уравнений в частных производных
В случае решения обыкновенных дифференциальных уравнений мы видели следующую картину. Имеется ряд уравнений, интегрируемых в квадратурах. Решение большинства уравнений можно получить, используя лишь численные методы. Принципиально различных постановок задач довольно немного: в основном это задача Коши, краевая задача для линейных уравнений, краевая задача для нелинейных уравнений. Имеется небольшое количество теоретически исследованных и практически отработанных алгоритмов, позволяющих эффективно решать существенную часть задач, связанных с численным решением обыкновенных дифференциальных уравнений. В частности, ряд численных методов решения задачи Коши был разработан еще в прошлом веке.
В настоящее время разработка методов и алгоритмов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений продвинута настолько, что зачастую исследователь, имеющий дело с этой задачей, не занимается выбором метода ее решения, а просто обращается к стандартной программе.
В случае уравнений с частными производными число принципиально различных постановок задач существенно больше. В курсе уравнений с частными производными обычно рассматривается незначительная часть таких постановок, главным образом связанных с линейными уравнениями с постоянными коэффициентами. При этом существует очень малое количество задач, решаемых в явном виде. Многообразие постановок в теории уравнений с частными производными связано с многообразием явлений окружающего нас мира.
Большое количество различных постановок задач, связанных с решением уравнений в частных производных, привело к тому, что теория численных методов в этом направлении дробится на большое число направлений. Использование численных методов с применением ЭВМ сильно расширило возможности в исследовании подобных задач. Например, разработанные за последние пятьдесят лет алгоритмы дают возможность решать с приемлемой затратой машинного времени подавляющее большинство краевых задач, связанных с решением одно- и многомерных уравнений параболического типа с переменными коэффициентами, в частности с коэффициентами, нелинейно зависящими от решения.
Конечно, здесь иначе, чем в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, обстоит дело с обоснованием сходимости численных методов и оценкой погрешности. Для широких классов типовых задач такие исследования проведены. Однако для многих важных классов прикладных задач, предъявляемых математикам для решения, не только не доказан, но часто остается неясным сам факт существования решения.
Например, уже для простой на вид системы
описывающей одномерное адиабатическое течение газа в лагранжевых координатах, не доказан при 
факт существования решения в целом (т.е. на неограниченном промежутке времени).
При таком состоянии вопроса о существовании решения в настоящее время трудно ожидать получения строгих оценок погрешности и теорем сходимости сеточных методов при достаточно общих предположениях. Тем не менее, часто пользуясь полуэмпирическими соображениями, аналогиями по сравнению со случаем линейных уравнений и численными экспериментами на задачах с известным точным решением, матема-. тики создают численные методы решения и для таких задач. При этом результаты и анализ численных расчетов наравне с экспериментом оказывают существенное влияние на развитие соответствующих разделов теории уравнений с частными производными. Так, например, обстоит дело в случае решения уравнений газовой динамики типа (1).
Несмотря на отсутствие строгих обоснований чисто математической (в частности, алгоритмической) стороны вопроса, математикам, занимающимся решением подобных прикладных задач, часто приходится брать на себя ответственность за достоверность получаемых численных результатов, включая правильность математической постановки задачи.
Конечно, все сказанное не умаляет роли чисто теоретических исследований. Их результаты, в частности теоремы существования, дают уверенность в правильности постановки, подсказывают информацию о качественных свойствах решения, что крайне важно при выборе алгоритма. Наличие известных частных решений, например в задачах газовой динамики, позволяет производить проверку точности предлагаемых методов. Использование известных частных решений простейших задач часто позволяет облегчить численное решение более сложных задач.
