§ 9. Конечно-разностные методы отыскания собственных значений

Рассмотрим простейшую краевую задачу на собственные значения:

Зададимся шагом и выпишем сеточную задачу

Значения , при которых система уравнений (2) имеет ненулевое решение , естественно назвать собственными значениями сеточной задачи. Пусть собственные значения задач (1), (2) упорядочены в порядке убывания, т. е. .

Рассмотрим модельный пример: ; тогда (1) приобретает вид

Можно проверить, что собственные функции этой задачи есть и соответствующие собственные значения . В случае сеточной задачи (2), приобретающей вид

рассуждаем следующим образом: общее решение разностного уравнения записывается в виде

где — корни характеристического уравнения

По формуле Виета , поэтому . Условия дают систему уравнений

она имеет ненулевое решение, если ее определитель равен 0, а именно, если . Отсюда

Из (3) можно выразить значения через значения :

Для определенности возьмем ; тогда соответствующие собственные функции имеют вид

Собственные значения различны между собой, поэтому соответствующие им собственные функции также различны. Так как задача (2) является задачей на собственные значения для матрицы размерности , то мы получили полную систему собственных функций; каждая из функций при или при равна тождественно нулю или пропорциональна одной из перечисленных выше функций . Мы случайно выбрали такой пример, где в узлах сетки выполняется равенство

В общем случае это равенство не имеет места; однако характер близости собственных значений этих задач типичен и для общего случая. Поскольку, согласно формуле Тейлора, , где , то из выражения для , получаем

или

Из этой формулы видно, что при фиксированном в то же время с ростом как абсолютная, так и относительная погрешности монотонно возрастают и, например,

Равенство (4) можно записать в виде оценки , где С не зависит от . В случае дважды дифференцируемых функций также можно получить такую оценку.

Для решения задачи (1) с более высокой точностью можно воспользоваться любыми разностными аппроксимациями уравнения более высокой точности. Рассмотрим пример.

В § 1 была построена разностная схема, аппроксимирующая последнее уравнение с погрешностью :

(с несколько иными обозначениями). Уравнение (1) записывается в рассматриваемом виде при . Отсюда получаем сеточную задачу на собственные значения:

Можно показать, что для собственных значений этой задачи выполняется оценка

Система уравнений (6) имеет вид , формально несколько более сложный, чем (2), поскольку матрица В не диагональная.

При повышении порядка точности могут возникать сеточные задачи, имеющие на первый взгляд еще более сложный вид, например такая: требуется найти , при котором система соотношений

имеет ненулевое решение .

Рассмотрим случай . Фиксируем некоторое например ; зададимся произвольным и из сотношения

последовательно определим . Если , то это окажется собственным значением и — собственной функцией; если то это не является собственным значением задачи (7).

Для отыскания собственных значений задачи (7), совпадающих с нулями , можно применить какой-либо итерационный метод отыскания нулей функции и по ее значениям. Этот процесс облегчается следующим обстоятельством, имеющим место во многих случаях и позволяющим получить «вилку» для искомого корня: если функция имеет j перемен знака на (0, X), то . Для вычисления значений при различных , как правило, наиболее рационально воспользоваться непосредственно рекуррентными формулами (8).

Предлагаемый алгоритм вычисления значений совпадает с алгоритмом решения сеточной задачи Коши для уравнения .

Для отыскания собственных значений может применяться также и метод прогонки. Не повторяя идеи метода, ограничимся написанием расчетных формул. Положим , тогда (8) перепишется в виде

откуда

Если и одного знака, то , если разного, то . Поэтому, наблюдая за переменами знака , можно определить число перемен знака (функции ). Как мы видели в § 3, коэффициент может оказываться очень большим, поэтому этот метод чаще применяется лишь для отыскания первого собственного значения.