§ 2. Задача n тел и метод численного интегрирования

Как мы видели, пассивное движение космического аппарата в мировом пространстве происходит в основном под действием сил притяжений небесных тел — Земли, Луны, Солнца, планет. Положение этих тел непрерывно изменяется, причем их движение, как и движение космического аппарата, происходит под действием сил всемирного тяготения. Таким образом, мы сталкиваемся с необходимостью решения задачи о движении большого числа небесных тел (в том числе искусственного небесного тел космического аппарата) под действием сил взаимного притяжения. Такая задача

носит в небесной механике название задачи тел. Говорят о «задаче пяти теп», «задаче трех тел» и т. д.

Решение этой задачи в общем случае всгречает колоссальные математические трудности. Даже задача трех тел решена лишь для нескольких частных случаев.

К счастью, в космодинамике задача тел имеет особый характер. В самом деле, космический аппарат, как разъяснялось в § 2 Введения, не оказывает практически никакого влияния на движение небесных тел. Такой случай в небесной механике известен как ограниченная задача тел. При ее решении движение Солнца, Земли, Луны и планет является заданным, так как оно прекрасно изучено астрономами и предсказывается ими на много лет вперед (вспомним, с какой точностью, например, предсказываются солнечные и лунные затмения). Это намного облегчает решение задач космодинами

Расстояния от космического аппарата до Солнца, Земли, Луны и планеты в любой момент известны, массы всех этих тел также известны, а значит, известны по величине и направлению и ускорения, сообщаемые небесными телами космическому аппарату. В самом деле, если масса небесного тела а масса космического аппарата то гравитационное ускорение сообщаемое аппарату, равно силе притяжения деленной на массу т. е.

Таким образом, гравитационное ускорение зависит только от расстояния между притягивающимися телами и от массы притягивающего тела, но не зависит от массы притягиваемого тела. Из этого простого утверждения, как мы увидим, будут вытекать очень важные следствия.

Сейчас же для нас только важно, что в любой момент по формуле (2) мы можем вычислить гравитационное ускорение, сообщаемое космическому аппарату каждым небесным телом в отдельности, а значит, можем вычислить (путем векторного сложения) и суммарное ускорение. Зная величину и направление начальной скорости космического аппарата, можно, учитывая вычисленное ускорение, рассчитать положение и скорость аппарата через небольшой промежуток времени, например через секунду. Для нового момента нужно будет заново вычислить ускорение и затем рассчитать следующее положение аппарата и его скорость и т. д. Таким путем шаг за шагом можно проследить все движение космического аппарата. Единственная неточность этого метода заключается в том что приходится в течение каждого небольшого промежутка времени (шага расчета) считать ускорение при вычислениях неизменным, в то время как оно переменно. Но точность расчета можно как

угодно повысить, уменьшив шаг. Конечно, при этом резко возрастает и количество вычислений.

Описанная процедура называется численным интегрированием.

Завершив численное интегрирование, мы скорее всего обнаружим, что космический аппарат прилетел совсем не в ту точку мирового пространства, куда нам было нужно. Поэтому придется перебрать много всевозможных начальных скоростей, прежде чем будет найдена подходящая траектория перелета. Столь сложная вычислительная задача может быть успешно решена путем использования быстродействующих электронных вычислительных машин. Но недостаток метода численного интегрирования в том, что он не дает рецепта, как выбирать, если не точно, то хотя бы приближенно, нужную начальную скорость. Ниже мы укажем выход из положения, а сейчас займемся специфическим явлением, характерным именно для свободного полета в полях тяготения одного или многих небесных тел.