§ 6. Спутники в точках либрации

Особый теоретический и отчасти практический интерес представляет такое действие притяжения Луны, которое вовсе не разрушает орбиту спутника Земли, но заставляет двигаться его по неизменной круговой возмущенной орбите. Мы уже сталкивались с аналогичным случаем, когда говорили о влиянии сплюснутости Земли на экваториальный спутник.

Пять таких орбит были найдены еще Лагранжем в качестве частных решений задачи трех тел.

Обратимся к рис. 31, а. Будем считать, что Луна движется вокруг Земли по окружности со скоростью притяжением Солнца пренебрежем.

Предположим, что в точках расположенных относительно Земли и Луны так, как указано на чертеже (D - расстояние от Земли до Луны, равное 384 400 км), спутники получили определенные начальные скорости.

В точках начальные скорости такие по величине, будто бы спутники в этих точках движутся как бы прочно скрепленными с прямой Земля — Луна. Величины начальных скоростей легко находятся графическим построением, показанным на рис. 31, а. Скорость в точке равна а в точке составляет

Оказывается, что и дальше спутники и Луна будут двигаться вокруг Земли, оставаясь все время на одной прямой,

(кликните для просмотра скана)

периоды обращения всех четырех тел будут одинаковы. Но это же невероятно! Не могут четыре спутника, находящиеся на круговых орбитах разных радиусов, иметь одинаковые периоды обращения! Но дело в том, что не могут — в задаче двух тел, а мы рассматриваем задачу трех тел, и теперь все обстоит иначе. Орбитальная скорость каждого искусственного спутника не равна местной круговой (относительно Земли) скорости. Так, например, круговая скорость в точке равна а в точке истинная скорость спутника в точке меньше, точке больше значения, полагающегося в задаче двух тел.

Что касается скорости Луны, то она и в задаче двух тел должна быть больше местной круговой скорости, так как для нее верна не формула а формула

Обратимся теперь к точкам образующим вместе с Землей и Луной два равносторонних треугольника. Сообщим в этих точках спутникам скорости по касательным к орбите Луны, в точности равные скорости Луны. Как мы сейчас выяснили, эти скорости будут больше местной круговой скорости, и, казалось бы, спутники обладая ничтожной массой, должны двигаться, в отличие от Луны, по эллипсам. Но ничуть не бывало! Притяжение Луны заставляет их двигаться все с той же неизменной скоростью по орбите Луны: один — на 60° впереди Луны, другой — на 60° позади.

Итак, все пять спутников под совместным действием Земли и Луны движутся так, что их первоначальное расположение все время остается неизменным. В системе координат, вращающейся вместе с линией Земля — Луна, эти пять спутников неподвижны. В этом смысле их иногда называют «стационарными». Точки носят название коллинеарных или прямолинейных точек либрации, а точки треугольных точек либрации. Попробуем дать объяснение странному поведению спутников в этих точках, воспользовавшись теорией возмущений.

По методу, использованному на рис. 28, построим возмущающие ускорения от Луны. Чтобы не загромождать чертеж, мы для точек укажем только конечный результат. Оказывается, в точках возмущающие ускорения направлены от Земли. Вычитаясь арифметически из гравитационного ускорения, сообщаемого спутнику Землей, они как бы погружают спутники в воображаемое ослабленное центральное поле тяготения, для которого «необычные» скорости точек как раз и будут круговыми. То же будет и для точки но здесь скорость будет круговой в воображаемом усиленном поле тяготения,

В точках построение возмущающих ускорений показывает, что они направлены к Земле и равны (треугольник ускорений равносторонний) ускорению, сообщаемому Земле Луной. Складываясь с гравитационным ускорением, возмущающее ускорение погружает спутник в усиленное поле тяготения, для которого скорость будет местной круговой.

Если бы Луна вдруг исчезла, спутники в точках либрации стали бы двигаться по оскулирующим эллипсам, примерный вид одного из которых — для точки показан на рис. 31, а.

Остается только добавить, что треугольные точки либрации являются устойчивыми, а прямолинейные неустойчивыми. Это значит, что если в начальный момент спутник будет расположен не в точке а в малой ее окрестности и будет иметь достаточно малую скорость, то он и дальше останется в этой окрестности. В окрестности же любой из точек (сколь угодно близко от них) любая сколь угодно малая сообщенная скорость заставит спутник уйти из этой окрестности [2.5, 2.61.

Свойство устойчивости точек заставило предположить, что, быть может, в окрестностях их могут скапливаться облака космической пыли. И, действительно, такие облака наблюдались в телескоп («облака Кордылевского»). Они показывают, что и в реальной действительности — в некруговой задаче, при участии солнечных возмущений — треугольные точки либрации обладают замечательным свойством удерживать объект около себя.

На рис. 31, б показана проекция на плоскость орбиты Луны траектории материальной точки, помещенной в начальный момент без относительной скорости в точку либрации под действием солнечных возмущений. Принято, что орбиты Земли вокруг Солнца и Луны вокруг Земли — круговые, учтен взаимный наклон плоскостей орбит и предполагается, что в начальный момент все три небесных тела были на одной прямой (момент затмения Солнца). Мы видим, что происходит в течение первых 250 суток (цифры указывают счет месяцев от начала движения, ось х параллельна линии Земля — Луна, пунктирные участки помогают лучше разглядеть кривую). Читатель поверит, что происходит дальше (считала ЭВМ!). Петляя, объект к исходу 850 сут удалится на от точки затем начнет приближаться, достигнув расстояния к моменту 1460 сут, и т. д. Петли делаются более правильными (особенно крупные), хотя периодически увеличиваются и сокращаются

Что касается коллинеарных точек либрации, то, хотя они и не могут удержать около себя объект, вокруг них существуют орбиты, по которым может двигаться космический аппарат. На рис. 31, в и г [2.7] показаны такие орбиты вокруг соответственно

точек причем учтена эллиптичность орбиты Луны Космические аппараты на таких орбитах при наблюдении с Земли кажутся колеблющимися перед Луной и позади Луны. Если же сообщить им небольшой толчок в направлении, перпендикулярном плоскости орбиты Луны (плоскости чертежа), то они начнут выписывать замысловатые пространственные кривые, оставаясь один впереди, другой позади Луны. Зачем это нужно, мы увидим в § 8 гл. 12.

Если в наших рассуждениях заменить Землю Солнцем, а Луну Землей, то можно предвидеть существование точек либрации в этой системе. В частности, точки будут при этом лежать на линии Солнце — Земля по разные стороны от Земли: на расстоянии 1,49 млн. млн. км, т. е. вне сферы действия Земли, примерно на границе сферы Хилла и внутри сферы влияния (§ 7 гл. 2). Тела в этих точках могут считаться спутниками Земли (период обращения—1 год), но могут — и спутниками Солнца (тот же период обращения). Мы обратимся к ним в гл. 15.