§ 4. Гомановские и параболические перелеты

Примем упрощенную модель планетных орбит: будем считать орбиты всех планет круговыми, лежащими в плоскости эклиптики. Такое предположение позволяет выявить важные качественные закономерности и очень полезно, пока не ставится цель — точно спроектировать конкретный межпланетный перелет.

Будем называть орбиту искусственной планеты, ведущую к орбите определенной планеты-цели, орбитой перехода. Чем больше тем больше эксцентриситет орбиты искусственной планеты и

тем сильнее в первом из рассмотренных выше четырех случаев афелий орбиты перехода удаляется от Солнца, а в третьем — ее перигелий приближается к Солнцу. При определенном значении афелий в первом случае и перигелий в третьем оказываются на орбитах внешней или внутренней (по отношению к орбите Земли) планеты-цели: орбиты перехода и планеты-цели касаются. Дальнейшее увеличение скорости выхода из сферы действия Земли приводит к пересечению орбиты перехода и орбиты цели.

Рис. 121. Гомановские траектории перелета Солнце, Земля, внешняя и внутренняя планеты, и 1 — индексы начала и конца перелета). Углы начальной конфигурации —

Нетрудно сообразить, что если бы орбита перехода не касалась орбиты Земли, а при том же значении овых пересекала ее, то цель не была бы достигнута, так как вектор скорости увых худшим образом складывался бы (векторно) с вектором скорости Земли. Таким образом, минимальное значение добавочной скорости овых и, следовательно, скорости отлета с Земли, определяемой по формуле

соответствует орбите перехода, касающейся одновременно орбиты Земли и орбиты планеты-цели. Такая орбита называется гомановской, а также полуэллиптической или котангенциальной (рис. 121).

В табл. 6 приведены необходимые для достижения планет значения минимальных скоростей отлета с Земли (с поверхности и с высоты вычисленные по формуле (4), а также соответствующие скорости схода с промежуточной околоземной орбиты, расположенной на высоте дополняющие круговую скорость на этой высоте до необходимой. Входящая в формулу (4) величина увых находится из соотношений

и

или в общем случае (не только для орбит перехода, касающихся орбиты Земли) в векторном виде

Величину можно вычислить из уравнения для эллиптического движения (см. формулу (9) в § 5 гл. 2):

где К — гравитационный параметр Солнца, большая полуось орбиты перехода. Но Подставив в (6), после приведения к общему знаменателю найдем

Вспомнив, что и выразив радиусы планет в астрономических единицах, получим

С помощью формулы (8) и столбца 2 табл. 6 мы заполним столбец табл. 6. Затем с помощью предыдущих формул заполнятся и столбцы 5, 2, 3, 4.

Продолжительность Тгом перелета по гомановской траектории (столбцы 8 и 9 табл. 6) вычисляется как половина полного периода обращения искусственной планеты, определяемого по формуле (5) в § 5 гл. 2:

Будем выражать расстояния в а. е., а время в звездных годах. Тогда для Земли из формулы для полного периода обращения

найдем

Отсюда

(см. скан)

если выражено в а. е., или (звездный год содержит 365,25636 средних солнечных суток)

В частности, полет по гомановской траектории к точке поверхности Солнца, противоположной Земле, отстоящей от центра Солнца на расстоянии 0,00465 а. должен продолжаться 65,02 сут. Необходимая для этого скорость отлета с Земли (см. табл. 6) есть минимальная скорость, обеспечивающая достижение Солнца. Она мало отличается от четвертой космической скорости. Полет с четвертой космической скоростью до центра Солнца в формуле продолжается 64,57 сут.

Повторяя рассуждения § 6 гл. 5, мы придем к понятию начальной конфигурации Земли и планеты назначения относительно Солнца, позволяющей совершить заданный перелет. Для гомановского перелета угловая дальность равна 180°, и угол начальной конфигурации (столбец 10 табл. 6) определяется по формуле

где а — дуга орбиты, проходимая планетой назначения за время перелета (находится умножением столбца 8 табл. 3 на столбец 8 табл. 6). Для внутренних планет угол отрицателен: эти планеты в момент старта находятся позади Земли, а не впереди нее, как внешние планеты.

Начальная конфигурация наступает за определенное время (столбец 11 табл. 6) до того момента, как внутренняя планета «догонит» Землю и окажется на линии Солнце — Земля («нижнее соединение») или Земля «догонит» внешнюю планету и окажется на линии Солнце — планета («противостояние»). Это время находится по формуле

где и — дуги, проходимые Землей и планетой назначения за сутки (столбец 8 табл. 3). Начальная конфигурация (как и другая, произвольная, конфигурация) повторяется через синодический период (столбец 7 табл. 3), определяемый по формуле

В табл. 7 приведены аналогичные данные для полетов к внешним планетам с начальной третьей космической скоростью (у поверхности Земли) и выходными скоростями

Продолжительность перелета находится по формуле (приводим без вывода)

Таблица 7. (см. скан) Параболические траектории полетов к планетам и Луне

Если измерять расстояния в астрономических единицах, а время в звездных годах, то

или

Угловая дальность в случае параболического перелета (столбец 5 табл. 7) равна

При сравнении данных столбца 9 табл. 6 и столбца 4 табл. 7 бросается в глаза большой выигрыш во времени, которым отличаются параболические перелеты от гомановских.

При чтении последующих глав полезно время от времени обращаться к табл. 6 и 7. При этом следует помнить, что данные табл. 6 и 7 (а также табл. 8-11) относятся к упрощенной модели планетных орбит. Подлинные характеристики космических операций всегда будут хуже (а для планет, чьи орбиты имеют сильный наклон и эксцентриситет, как правило, значительно хуже). И все же эти таблицы очень полезны для ориентировочных оценок.