§ 8. Разгон с малой тягой до параболической скорости

Как уже говорилось в главе 1, использование двигателей малой тяги оказывается возможным лишь после выведения космического аппарата на орбиту спутника Земли. На этапе же выведения, естественно, применяются двигатели большой тяги, способные оторвать аппарат от Земли и сообщить ему необходимую орбитальную скорость.

Представим себе, что спутник снабжен электроракетным двигателем, способным сообщить реактивное ускорение порядка Движение спутника мы можем рассматривать как возмущенное в поле тяготения Земли.

Вспомним, что возмущающее ускорение при движении спутника в верхней атмосфере имело тот же порядок величины, что и реактивное ускорение в нашем случае.

Легко понять, что если возмущающее воздействие атмосферного сопротивления, направленного противоположно движению, заставляло спутник снижаться по спирали, то возмущение орбит 1 малой тягой в сторону полета должно принудить спутник подниматься по раскручивающейся спирали, показанной на рис. 44 сплошной линией. При этом в случае старта с круговой орбиты каждый последующий виток спирали будет до поры до времени мало отличаться от окружности. Аналогично аэродинамическому парадоксу спутника существует и парадокс разгона космического аппарата с малой тягой: несмотря на то, что сила тяги действует в сторону движения, скорость аппарата уменьшается. Если бы можно было заснять на кинопленку спиральный спуск спутника в атмосфере, то, прокрутив ее от конца к началу, мы увидели бы на экране спиральный подъем спутника под действием малой тяги. При этом замедление космического аппарата является таким, будто бы сила тяги не разгоняет его, а толкает назад.

И, однако, описанное спиральное движение может быть все же названо разгоном: хотя скорость аппарата при этом и падает, но с удалением от Земли еще быстрее уменьшается и местная параболическая скорость, и в конце концов она достигается спутником. Полная механическая энергия, вначале отрицательная, увеличи вается до нуля, так как потенциальная энергия растет быстрее, чем падает кинетическая.

Понятно, почему дело обстоит иначе при разгоне с помощью двигателей большой тяги, осуществляющих сход с круговой орбиты. В этом случае полная энергия увеличивается скачком за счет

огромного прироста кинетической энергии, а потенциальная энергия почти не изменяется.

Изображенная на рис. 44 траектория носит универсальный характер. Она действительна для разгона с любым постоянным тангенциальным (совпадающим по направлению со скоростью) реактивным ускорением при любой начальной круговой орбите и для любого притягивающего небесного тела. На рисунке не изображены бесчисленные чрезвычайно густые витки спирали, окружающие центр тяготения О. В зависимости отгравитационного параметра небесного тела и от величины реактивного ускорения тот или иной виток спирали может быть принят приближенно за начальную круговую орбиту (витки почти не отличаются от окружностей), и тогда все витки, лежащие внутри этой орбиты, должны быть отброшены, а наружные изобразят истинное движение.

Рис. 44. Универсальная траектория спирального движения при постоянном тангенциальном реактивном ускорении(сплошная линия) и при оптимальном управлении (пунктир). Внизу показано продолжение тех же траекторий в меньшем масштабе. точки достижения параболической скорости. Отметки на осях х а у соответствуют безразмерному расстоянию Размерное расстояние может быть найдено по формуле где гравитационный параметр тангенциальное реактивное ускорение [2.15, 2.16].

Виток, предшествующий достижению в точке (рис. 44) параболической скорости, уже не похож на окружность. В каждой его точке оскулирующая орбита представляет ярко выраженный эллипс. В непосредственной близости от точки скорость начинает увеличиваться и, став гиперболической, продолжает увеличиваться и дальше (рис. 45). При этом траектория становится практически прямой (рис. 44), так как по мере удаления от центра оскулирующие гиперболы все меньше отличаются от своих асимптот.

Чем меньше реактивное ускорение тем больше витков должен сделать космический аппарат и тем больше должно пройти времени, прежде чем будет достигнута параболическая скорость (это время примерно обратно пропорционально Ниже предполагается старт с круговой орбиты высотой [2.15].

При параболическая скорость достигается на расстоянии от центра Земли через 275,7 сут, а еще через 94,12 сут скорость достигает на расстоянии 15,48 млн. км.

Но уже при точка отстоит от Земли на и достигается через 80,80 сут, а скорость еще через 26 сут на расстоянии 4,78 млн. км. При точка отстоит от Земли на и достигается через 26,16 сут, а скорость достигается еще через 7,8 сут на расстоянии Как видим, ускорения, сообщаемые электрическими двигателями, все малы, но малы по-разному! Ускорения (характерные для ионных двигателей) дают приемлемые для практики времена и расстояния, чего нельзя сказать об ускорении Вот какой большой эффект дает увеличение реактивного ускорения всего лишь в 10 раз.

Рис. 45. Графики скорости и расстояния от притягивающего центра (2) в зависимости от времени момент достижения, параболической скорости) [2.15].

До сих пор мы предполагали тягу направленной тангенциально; такой метод управления направлением реактивной струи требует довольно сложной автоматики (тяга должна «следить» за скоростью). Проще заставить тягу быть все время направленной трансверсально (перпендикулярно к радиусу) в плоскости полета. При этом общий характер спиральной траектории разгона не будет сильно отличаться от спирали, показанной на рис. 44 сплошной линией. По-видимому, промежуточное (между касательной и трансверсалью) расположение вектора реактивного ускорения будет наиболее выгодно с энергетической точки зрения.

Однако оптимальнымг) будет такой разгон, при котором вектор реактивного ускорения, сначала направленный по касательной, будет совершать затем качания около касательной, отклоняясь на каждом витке то по одну, то по другую сторону от вектора скорости [2.16]. Эти качания, вначале слабые, затем становятся все более сильными, и на витке, предшествующем достижению параболической скорости, вектор реактивного ускорения отклоняется на 20° вверх от направления касательной. Затем он прекращает колебания, начинает все теснее примыкать к направлению касательной и вскоре после достижения параболической скорости практически смыкается с вектором скорости.

Не менее сложным должно быть и управление величиной реактивного ускорения. Эта величина сохраняет все время некоторое среднее значение, но на каждом витке примерно одновременно с качаниями вектора реактивного ускорения его величина делается то больше, то меньше среднего значения, причем на последнем витке, предшествующем достижению параболической скорости, эта величина снижается на 60% ниже среднего значения и увеличивается

на 80% выше его. Затем она начинает падать и вскоре после достижения параболической скорости принимает свое среднее значение. В дальнейшем движение по оптимальной траектории, таким образом, не отличается от движения по траектории разгона при постоянном касательном реактивном ускорении.

В результате получается траектория разгона, изображенная на рис. 44 пунктиром. Легко усмотреть отличие этой траектории от траектории разгона при постоянном тангенциальном реактивном ускорении. Теперь, хотя расстояние космического аппарата от центра притяжения и увеличивается с каждым витком, в пределах витка оно совершает колебания, то увеличиваясь, то уменьшаясь. Оптимальный разгон в начале движения и вскоре после достижения параболической скорости слабо отличается от касательного, но на среднем участке отличие довольно существенно, благодаря чему и получается энергетический выигрыш. Он более всего велик для коротких траекторий разгона (с малым числом витков), т. е. для сравнительно больших реактивных ускорений, но не превышает несколько процентов. Таким образом, тангенциальный разгон имеет важное преимущество перед строго оптимальным — простоту управления.

Рис. 46. Полет с радиальной тягой в случае

Интересно рассмотреть действие малой непрерывной радиальной тяги, управление которой легче всего осуществить (нужно направлять сопло двигателя все время на центр Земли). Так как она, по крайней мере в начале полета, направлена поперек движения, то можно заранее ожидать слабого ее проявления. Но обнаруживаются интересные закономерности.

Обозначим через а отношение постоянного реактивного ускорения к гравитационному ускорению на высоте начальной круговой орбиты. (Для низких начальных орбит величина а имеет порядок но с высотой увеличивается.) Оказывается, если то космический аппарат сначала поднимется на некоторую высоту, затем начнет опускаться; описав овал, он коснется первоначальной орбиты (вообще говоря, не в точке старта) и опять начнет удаляться, чтобы снова и снова периодически на мгновение к ней возвращаться (рис. 46) [2.17].

Если точно выполняется условие то космический аппарат, удалившись с круговой орбиты, уже не вернется назад, а будет все теснее и теснее (асимптотически) приближаться к круговой орбите вдвое большего радиуса, чем первоначальная, достигая ее после бесконечного числа оборотов вокруг Земли [2.18].

И только при космический аппарат сможет, достигнув параболической скорости, полностью разорвать путы тяготения. Это произойдет на расстоянии

где - радиус начальной орбиты [2.18]. Но для того, чтобы условие выполнялось, радиус должен быть очень велик. Если то радиус Земли), а при радиус Но нет никакого смысла выводить космические аппараты с помощью двигателей большой тяги на такие высокие начальные орбиты, чтобы стартовать с них с помощью малого радиального ускорения. Суммарная характеристическая скорость двухимпульсного вывода на начальную орбиту почти равнялась бы второй космической скорости или даже превысила бы ее. Таким образом, использование малой радиальной тяги в околоземном пространстве лишено практического интереса (при межпланетных полетах дело обстоит иначе, см. § 1 гл. 14).

В некоторых случаях может оказаться выгодной программа управления тягой, при которой она будет действовать не непрерывно, а лишь на некоторых участках траектории, но зато на этих участках тяга будет существенно больше. При этом выгодно прилагать тягу на тех участках траектории, которые ближе к центру притяжения. Если начальная орбита эллиптическая, то целесообразно накапливать в аккумуляторах электрическую энергию, вырабатываемую на большей части каждого витка траектории, чтобы расходовать ее только вблизи перигея витка, резко увеличивая тем самым вблизи перигея скорость истечения, а следовательно, и тягу. Траектория разгона при этом должна состоять из большого числа эллипсов с примерно одинаковым перигеем. Она напоминает траекторию торможения в атмосфере спутника с эллиптической орбитой (рис. 27), но проходится в обратном направлении. Таким образом, после значительного числа витков в перигее будет достигнута скорость, обеспечивающая выход из сферы действия Земли [2.19].