§ 4. Центральное поле тяготения

Описанной в § 2 громоздкой процедуры подбора нужной космической траектории можно избежать, если задаться целью примерно наметить путь космического аппарата. Оказывается, что для сравнительно точных расчетов нет нужды учитывать действующие на космический аппарат силы притяжения всех небесных тел или даже сколько-нибудь значительного их числа.

Когда космический аппарат находится в мировом пространстве вдали от планет, достаточно учитывать притяжение одного лишь Солнца, потому что гравитационные ускорения, сообщаемые планетами (вследствие больших расстояний и относительной малости их масс), ничтожно малы по сравнению с ускорением, сообщаемым Солнцем.

Допустим теперь, что мы изучаем движение космического объекта вблизи Земли. Ускорение, сообщаемое этому объекту Солнцем, довольно заметно: оно примерно равно ускорению, сообщаемому Солнцем Земле (около ); естественно было бы его учитывать, если нас интересует движение объекта относительно Солнца (учитывается же ускорение Земли в ее годовом движении вокруг Солнца!). Но если нас интересует движение космического объекта относительно Земли, то притяжение Солнца оказывается сравнительно малосущественным. Оно не будет вмешиваться в это движение аналогично тому, как притяжение Земли не вмешивается в относительное движение предметов на борту корабля-спутника. То же касается и притяжения Луны, не говоря уже о притяжениях планет.

Вот почему в космонавтике оказывается весьма удобным при примерных расчетах («в первом приближении») почти всегда рассматривать движение космического аппарата под действием одного притягивающего небесного тела, т. е. исследовать движение в рамках ограниченной задачи двух тел. При этом удается получить важные закономерности, которые совершенно ускользнули бы от нашего внимания, если бы мы решились изучать движение космического аппарата под влиянием всех действующих на него сил.

Будем считать небесное тело однородным материальным шаром или по крайней мере шаром, состоящим из вложенных друг в друга однородных сферических слоев (так примерно обстоит дело для Земли и планет). Математически доказывается, что такое небесное тело притягивает так, будто бы вся его масса сосредоточена в его центре. Такое поле тяготения называется центральным или сферическим.

Будем изучать движение в центральном поле тяготения космического аппарата, получившего в начальный момент, когда он находился на расстоянии от небесного тела, скорость начальные условия). Для дальнейшего воспользуемся законом сохранения механической энергии, который справедлив для рассматриваемого случая, так как поле тяготения является потенциальным; наличием же негравитационных сил мы пренебрегаем. Кинетическая энергия космического аппарата равна где масса аппарата, его скорость. Потенциальная энергия в центральном поле тяготения выражается формулой (выводить ее мы не будем)

где масса притягивающего небесного тела, расстояние от него космического аппарата; потенциальная энергия, будучи отрицательной, увеличивается с удалением от Земли, обращаясь в нуль на бесконечности. Тогда закон сохранения полной механической энергии запишется в следующем виде:

Здесь в левой части равенства стоит сумма кинетической и потенциальной энергий в начальный момент, а в правой — в любой другой момент времени. Сократив на и преобразовав, мы напишем интеграл энергии — важную формулу, выражающую скорость

космического аппарата на любом расстоянии от центра притяжения:

или

где величина, характеризующая поле тяготения конкретного небесного тела (гравитационный параметр). Для Земли для Солнца