§ 2. Движение внутри сферы действия Земли

Рассмотрим подробнее движение на первом из перечисленных выше участков — от момента старта до пересечения границы сферы действия Земли. Это движение может рассматриваться с разных точек зрения, в двух различных системах отсчета.

На рис. 116, а схематично показана геоцентрическая траектория космического аппарата от момента старта до выхода из сферы действия Земли, т. е. траектория в системе координат с началом в центре Земли и осями, перемещающимися поступательно вместе с Землей (оси постоянно направлены на одни и те же «неподвижные» звезды). Одновременно в системе координат с началом в центре Солнца и осями, направленными на «неподвижные» звезды, аппарат описывает гелиоцентрическую траекторию, показанную на рис. 116, б. За несколько дней, в течение которых космический аппарат покрывает расстояние до границы сферы действия Земли, сама Земля проходит в движении вокруг Солнца многие миллионы километров (за одни сутки Земля покрывает 2,6 млн. км), перейдя из точки 30 своей орбиты в точку

В случае, изображенном на верхнем рис. 116, космический аппарат обгоняет Землю, вследствие чего выходит из сферы действия Земли в ее передней, фронтальной части. На нижнем рис. 116 изображен случай, когда начальная геоцентрическая скорость сообщается в примерно противоположном направлении. Теперь космический аппарат в своем гелиоцентрическом движении отстает от Земли и выходит из сферы действия Земли в ее тыльной части.

В дальнейшем мы будем планетоцентрические (в частности, геоцентрические) скорости обозначать маленькой буквой и, а гелиоцентрические — большой буквой . На рис. 116 показано построение с помощью векторного треугольника гелиоцентрической скорости выхода из сферы действия Земли по геоцентрической скорости выхода и скорости Земли в момент выхода из сферы действия (т. е. в положении Земли Вектор гелиоцентрической скорости выхода полностью определяет гелиоцентрическое движение вне сферы действия Земли, которым мы займемся позднее.

Рис. 116 Движение внутри сферы действия Земли геоцентрическое, б) гелиоцентрическое] при старте в сторону движения Земли (верхний рисунок) и при старте в сторону, примерно противоположную направлению движения Земли (нижний рисунок)

Геоцентрическая траектория полета внутри сферы действия Земли, конечно, испытывает возмущения со стороны Солнца, но мы будем ими пренебрегать, учитывая, что возможная при этом ошибка отступает на второй план по сравнению с отклонениями вследствие неизбежных ошибок при запуске, которые на последующем гелиоцентрическом движении вне сферы действия Земли скажутся гораздо существеннее [4.4]. Мы пренебрегаем при этом не солнечным притяжением, а его неоднородностью, т. е. наличием градиента солнечной гравитации. Мы считаем солнечное притяжение одинаковым во всем объеме сферы действия и неявно учитываем его. В самом деле, оно является причиной кривизны орбиты Земли

(если бы не было Солнца, Земля двигалась бы по прямой линии), а эту кривизну мы принимаем во внимание, когда чертим вектор скорости Земли в точке (он отличается от вектора скорости Земли в точке 30).

По мере удаления от Земли геоцентрическая скорость космического аппарата непрерывно падает. Ее величина при выходе из сферы действия Земли находится по следующей формуле, которая вытекает из формулы (За) или (12) (§§ 4, 5 гл. 2):

Здесь значение параболической скорости в точке выключения двигателя, расстояние этой точки от центра Земли, радиус сферы действия Земли. Так как второй член в скобках мал по сравнению с единицей, то для вычисления обычно пользуются также приближенной формулой

Иными словами, считают геоцентрическую скорость выхода равной той скорости которую бы имел космический аппарат в бесконечности, если бы никаких других притягивающих тел, кроме Земли, не было. Граница сферы действия Земли рассматривается как «местная бесконечность».

Погрешность, которую мы допускаем, пользуясь приближенной формулой (2), в значительной мере компенсируется другой погрешностью, а именно тем, что, пользуясь приближенным методом расчета траекторий, мы не учитываем возмущений со стороны Земли, сказывающихся на гелиоцентрическом движении космического аппарата вне сферы действия Земли.

В самом деле, допуская первую погрешность, мы занижаем скорость космического аппарата на границе сферы действия Земли и вносим определенное искажение в гелиоцентрическую скорость. Но это последнее искажение даже отчасти полезно, поскольку как бы соответствует той ошибке, которую мы допускаем, забывая о притяжении Земли сразу же после пересечения космическим аппаратом границы ее сферы действия. Если, например, выход из сферы действия Земли осуществляется в сторону движения Земли, то первая ошибка занижает гелиоцентрическую скорость, но ведь то же самое делало бы и земное возмущение вне сферы действия Земли. Впрочем, разница между значениями вычисленными по разным формулам, невелика (особенно, если заменить сферу действия сферой влияния!) и вовсе сходит на нет с увеличением начальной скорости (например, при полетах к дальним планетам или к Солнцу).

Пользуясь приближенной формулой (2), в которой должно быть больше Уосво» мы предполагаем траекторию достижения

границы сферы действия Земли гиперболической. При движении внутри этой сферы по параболе и по эллипсу скорости не обеспечат достижения даже ближайших планет Солнечной системы.

Не имеет существенного значения, в какой именно точке пересекается аппаратом граница сферы действия Земли. Межпланетные расстояния так велики, что по сравнению с ними мы можем пренебречь разницей между расстояниями от Солнца всех возможных точек пересечения и принять, что начальная точка гелиоцентрической траектории (совпадающая с ючкой пересечения) находится на таком же расстоянии от Солнца, как и Земля. Важно точно соблюсти величину и направление выходной скорости которые полностью определяют дальнейшее движение космического аппарата вне сферы действия Земли.

Рис. 117. Возможные траектории выхода к границе сферы действия Земли (утолщеииые лииии — активные участки траекторий).

Существует бесчисленное количество гиперболических траектории одна прямолинейная (вертикальная), двигаясь по которым космический аппарат пересечет границу сферы действия в заданном направлении с заданной скоростью относительно Земли (рис. 117). Для выхода на каждую из этих траекторий требуется одна и та же величина начальной скорости, если только эта скорость сообщается на одной и той же высоте 2). Однако самой выгодной траекторией, как мы знаем, является траектория с пологим начальным участком.

Между тем использование пологой траектории, как правило, оказывается невозможным вследствие невыгодного географического положения космодрома. Например, при старте из точки А приходится пользоваться крутой траекторией 1. В этом случае выгодно вывести космический аппарат предварительно на орбиту спутника Земли. Когда аппарат достигнет заранее намеченной точки В, дополнительный импульс выведет его на траекторию 2 — гиперболу с вершиной (перигеем) вблизи точки В. Таким образом, крутой разгон заменяется двумя пологими разгонами в точках

Очевидно, спутник можно вывести на ту же промежуточную орбиту и в противоположном направлении. Тогда полет до границы

сферы действия Земли будет происходить по траектории 3 (рис. 117), на которую космический аппарат будет выведен в точке

Наконец, при старте из точек, не лежащих в плоскости чертежа, можно использовать круговые промежуточные орбиты, также не лежащие в этой плоскости. Плоскость каждой из этих орбит должна проходить через вертикаль 4. Тогда мы получим бесчисленное количество гиперболических траекторий, по которым космический аппарат после старта с борта спутника можно вывести к границе сферы действия Земли с одинаковыми векторами скорости. Все эти траектории лежат на поверхности вращения (рис. 118), ось которой совпадает с самой невыгодной траекторией 4, показанной на рис. 117.

Рис. 118. Поверхность, образованная траекториями выхода к границе сферы действия Земли.

Вблизи границы сферы действия Земли, где гиперболы все более распрямляются, эта поверхность является почти цилиндрической [4.51.

На границе сферы действия поверхность гиперболических траекторий вырезает окружность, в любой точке которой космический аппарат может покинуть сферу действия Земли с одной и той же по величине и направлению скоростью выхода. Дальнейшее движение (вне сферы действия Земли) будет происходить по одинаковым траекториям.

На другом конце поверхности находится окружность (назовем ее окружностью орбитальных стартов [4.5]), в любой точке которой космический аппарат может стартовать с борта спутника и направиться к границе сферы действия Земли. Плоскость этой окружности перпендикулярна к плоскости чертежа на рис. 117; окружность проходит через точки Размер окружности орбитальных стартов зависит только от величины выходной скорости и высоты промежуточной круговой орбиты. Чем больше величина тем больше этот размер. Он может быть охарактеризован углом

раствора конуса с вершиной в центре Земли, опирающегося на окружность орбитальных стартов (угол 2 а на рис. 117). Для половины угла раствора можно вывести формулу

где скорость космического аппарата на промежуточной круговой орбите [4.5].

До сих пор мы в наших рассуждениях полностью игнорировали суточное вращение Земли. Между тем благодаря ему космодром, старт с которого в какой-то момент времени не может обеспечить пологую траекторию разгона, в другой момент суток может оказаться в точке, положение которой позволит подобный разгон.

Еслибы, например, космодром оказался в точке К или в точке (рис. то выход на промежуточную орбиту был бы не нужен, так как оказался бы возможен выход на траекторию 2 (в точке В) или на траекторию 3 (в точке по показанным на рис. 117 пунктиром участкам выведения

Если все участки выведения считать одинаковой длины, то нетрудно сообразить, что точки земной поверхности, из которых можно вывести космический аппарат на пологую траекторию непосредственно (без периода пассивного орбитального полета), располагаются на некоторой окружности, проходящей через точки Назовем ее условно окружностью наземных стартов. Очевидно, эта окружность меньше проходящей через точки проекции окружности орбитальных стартов (В и N - проекции точек на земную поверхность). Центр этой окружности лежит на оси поверхности гиперболических траекторий.

Изображенная на рис. 118 геометрическая картина (совокупность поверхности гиперболических траекторий, окружности орбитальных стартов, окружности наземных стартов) ориентирована каким-то образом в мировом пространстве, а именно так, что ось поверхности гиперболических траекторий параллельна направлению вектора скорости выхода из сферы действия Земли. Эта ориентация зависит от взаимного расположения Солнца, Земли и планеты назначения и потому в течение нескольких суток почти не изменяется. Между тем Земля успевает за сутки сделать один оборот вокруг своей оси и определенные точки ее поверхности за это время дважды пересекают окружность наземных стартов. В каждый из этих моментов можно осуществить вывод космического аппарата на необходимую траекторию без использования промежуточной орбиты. Но поскольку окружность наземных стартов меньше проекции окружности орбитальных стартов, а последняя заведомо меньше большого круга земной сферы, то существуют обширные районы, ни одна точка которых в течение суток даже не коснется окружности

наземных стартов, а некоторые точки не подойдут и близко к ней. При старте с космодромов, расположенных в этих районах, необходимо использовать промежуточную орбиту, чтобы избежать больших гравитационных потерь. Для конкретного космодрома в каждый момент суток будет пригодна определенная промежуточная орбита.

На рис. 119, а для некоторого расположения окружности наземных стартов затушевана зона земной поверхности, в которой возможны пологие разгоны без выхода на промежуточную орбиту.

Рис. 119. Случаи различного географического расположения окружности иаземиых стартов. Из затушеваннойзоны возможен в течение суток пологий разгон без выхода на промежуточную орбиту.

Рис. 119, б соответствует частному случаю, не имеющему, вообще говоря, большого практического интереса, когда окружность наземных стартов охватывает один из географических полюсов. На рис. 119, в изображен еще более частный случай, когда окружность наземных стартов совпадает с географической параллелью. При этом пологий разгон без выхода на промежуточную орбиту возможен только для точек данной параллели. Мы здесь не входим в обсуждение вопроса о том, для каких целей исследования мирового пространства может понадобиться, чтобы геоцентрическая скорость выхода из сферы действия Земли была направлена к южному полюсу небесной сферы, как это изображено на рис. 119, е. (На рис. 119, а, б, в пунктирная линия, проходящая через центр окружности наземных стартов и центр Земли, является осью поверхности, изображенной на рис. 118, и указывает направление выхода из сферы действия Земли.)

Впервые старт с промежуточной орбиты был осуществлен февраля 1961 г. при запуске советской автоматической станции Венера-1.