§ 5. Относительное движение в окрестности спутника

Представим себе два спутника, движущихся бок о бок по одной и той же орбите. Пусть теперь один спутник получил от своего бортового двигателя дополнительную небольшую скорость, допустим следовательно, изменил свою траекторию. Как будет выглядеть его движение с борта второго спутника? Или пусть в открытый иллюминатор спутника космонавт выбросил какой-либо предмет с той же скоростью Каким увидит космонавт движение этого предмета?

Может быть и так. Космонавт вышел в космос, нечаянно оттолкнулся от корабля скоростью и тут обнаружилось, что фал не был закреплен на скафандре. Далеко ли отойдет космонавт от корабля или останется вблизи него?

Во всех этих случаях речь идет о движении спутника после слабого начального возмущения его орбиты. При этом нас интересует не абсолютное новое движение спутника вокруг Земли, а относительное движение его по отношению к другому спутнику, т. е. отклонение положения спутника в каждый момент при движении его по возмущенной орбите от того положения в пространстве, которое он бы занимал, если бы начального возмущения не было вовсе.

Здесь существенным является то, что начальная скорость очень невелика и новая орбита заведомо мало отличается от старой (что значит по сравнению с первой космической скоростью!).

В первые мгновения движение космонавта (будем для конкретности говорить о нем) относительно корабля будет происходить так, будто бы все происходит в «свободном пространстве» Циолковского, т. е. отсутствует притяжение Земли. Космонавт будет удаляться по прямой от корабля, пока существование градиента гравитации не станет заметным. А станет заметным оно очень скоро.

Будем предполагать, что корабль движется по орбите, будучи «естественным образом» ориентированным относительно Земли. Его ось корма — нос направлена все время вдоль скорости; вокруг этой оси он не вращается. Пусть орбита корабля круговая высотой с периодом обращения 98 мин, скоростью Пусть космонавт получил толчок в сторону полета. Естественно, что сначала он обгонит корабль. Вспомним, однако, что орбита космонавта будет внешним (по отношению к круговой орбите корабля) эллипсом и период обращения его вокруг Земли будет больше (как показывает расчет, на 2,3 с

Рис. 38. Движение при начальном возмущении скорости относительно Земли, когда толчок дан в направлении полета; б) относительно корабля на невозмущенной орбите при том же толчке (одновременные положения обозначены одинаковыми цифрами); в) относительно корабля при толчке против движения.

Поэтому космонавт неизбежно в какой-то момент должен отстать от корабля. Эффект совершенно неожиданный с точки зрения житейской практики!

На рис. 38, а изображены невозмущенная и возмущенная орбиты (последняя утрирована). Сначала космонавт обгоняет корабль, одновременно поднимаясь по восходящей ветви своей эллиптической орбиты. К моменту, когда спутник опишет угол 41°, космонавт удалится вперед на расстояние (рис. 38, б); затем это расстояние начнет сокращаться, и в момент, когда корабль пройдет 71°, космонавт проплывет над ним, продолжая подниматься вверх и отставая. В своем апогее космонавт поднимется над невозмущенной орбитой на Корабль в это время будет уже далеко впереди. К завершению первого витка корабля отставание космонавта составит За сутки оно увеличится до [2.1]. Через 5,5 месяцев космонавт отстанет на целую длину орбиты, т. е. окажется на одном радиусе с кораблем, но маловероятно, чтобы это произошло в общей, начальной, точке орбит...

Рассуждая аналогичным образом, мы можем исследовать движение космонавта в случае, если он оттолкнется от массивного

спутника в сторону, противоположную движению. Теперь его возмущенная орбита будет представлять собой внутренний (по отношению к невозмущенной круговой орбите) эллипс, причем начальная точка будет ее апогеем. Космонавт сначала отстанет от корабля, но скоро начнет его нагонять и, пройдя под ним, станет уходить все дальше и дальше вперед (рис. 38, в).

Рис. 39. Движение при начальном возмущении скорости враднальном направлении: а) относительно Земли, когда толчок дан вверх; б) относительно корабля в том же случае (одновременные положения обозначены одинаковыми цифрами); в) относительно корабля, когда толчок направлен вниз.

Гораздо более благоприятной для космонавта будет ситуация при которой он получит начальный толчок вверх в радиальном направлении. Космонавт окажется на эллиптической орбите с ничтожным эксцентриситетом (с апогеем А и перигеем рис. 39, а), двигаясь по которой он будет сначала отставать от корабля, одновременно поднимаясь вверх. Когда корабль пройдет четверть оборота по своей орбите, космонавт еще не успеет дойти до своего апогея и отстанет от корабля почти на поднявшись на вверх (рис. 39, б). Еще через четверть оборота корабль будет обгонять космонавта на причем космонавт к этому времени спустится до уровня корабля. Далее отставание космонавта начнет сокращаться, и к начальной точке корабль и космонавт подойдут одновременно, так как период обращения по возмущенной орбите можно практически считать равным периоду обращения по невозмущенной. На этот раз космонавт, совершив один оборот вокруг Земли, будет спасен.

При начальном толчке вниз возмущенная орбита будет представлять собой почти неотличймый от "невозмущенной круговой орбиты эллипс, сдвинутый влево (а не вправо, как на рис. 39, а). Космонавт, двигаясь по первой половине своей геоцентрической орбиты, сначала опустится вниз, обгоняя корабль, потом

поднимется на прежний уровень и, продолжая подниматься, начнет возвращаться к кораблю, чтобы в начальной точке геоцентрической орбиты возвратиться на корабль сверху, описав петлю (рис. 39, в). Как видим, если космонавт захочет бросить на Землю с корабля какой-нибудь предмет, чтобы он «не засорял космос», то этот предмет, подобно бумерангу, возвратится на корабль.

Наконец, рассмотрим случай бокового начального толчка — в направлении, перпендикулярном к плоскости орбиты (т. е. перпендикулярном к плоскости чертежа на рис. 38 и 39),- по-прежнему равного Геоцентрическая скорость космонавта после толчка не будет отличаться по величине от такой же скорости в только что рассмотренном случае, но теперь она будет трансверсальна, и новую орбиту космонавта можно считать круговой (с прежним периодом обращения) с еще большим основанием (с большей точностью). Новая геоцентрическая скорость космонавта будет отклонена от плоскости чертежа на угол, тангенс которого равен т. е. величина угла составит

Плоскость возмущенной орбиты должна проходить через центр Земли и вектор новой геоцентрической скорости, т. е. она должна быть на тот же угол отклонена от плоскости чертежа, пересекаясь с ней по линии, проходящей через начальную точку и центр Земли. Возмущенная и невозмущенная орбиты пересекаются в начальной и диаметрально противоположной точках.

Первоначально пути корабля и космонавта разойдутся Двигаясь с одинаковой скоростью, эти два тела через четверть оборота разойдутся на максимальное расстояние Далее космонавт и корабль снова сближаются и еще через четверть оборота встречаются в точке, диаметрально противоположной первоначальной. Если при этом космонавт не заденет корабль, то он снова начнет удаляться от корабля. Если раньше он находился справа от корабля, то теперь будет двигаться по орбите левее его, но через пол-оборота он снова встретится с кораблем в той точке пространства, где впервые отделился от него. Относительно корабля космонавт будет совершать колебания с периодом, равным периоду обращения вокруг Земли (98 мин в нашем примере), и с амплитудой На рис. 40, а показаны движения космонавта и корабля, как они должны наблюдаться, если смотреть «сверху» (скажем, со стороны Полярной звезды, если космонавт отделился от корабля над Северным полюсом). На рис. 40, б изображено колебательное движение космонавта относительно корабля. (Предполагается, что космонавт оттолкнулся от корабля с его правого борта).

Итак, управление относительным движением в окрестности спутника — достаточно сложная вещь, и это надо иметь в виду, говорим ли мы о перемещении космонавта с помощью

индивидуальной двигательной установки («ракетный пистолет») или о маневрах одного спутника вблизи другого перед стыковкой (см. § 7).

Существенное отличие рассмотренного выше продольного начального возмущения скорости от поперечного в радиальном направлении и бокового в направлении, перпендикулярном к плоскости орбиты, заключается в том, что в первом случае дело в конце концов сводится к непрерывно нарастающему продольному смещению относительно «невозмущенного спутника» («вековое смещение», как говорят астрономы), а во втором и третьем случаях смещение носит периодический характер.

Рис. 40 Движение при начальном боковом возмущении скорости 1 м/с: а) относительно Земли, б) относительно корабля на невозмущенной орбите (вид «сверху») Одновременные положения обозначены одинаковыми цифрами

Если в некоторый момент выбросить из спутника во всевозможных направлениях множество предметов со сравнительно небольшой относительной скоростью, то благодаря вековым смещениям эти предметы разбредутся вдоль первоначальной орбиты. Так как их орбиты будут мало отличаться от первоначальной, то предметы образуют круговое кольцо вокруг Земли. Именно таким путем в 1963 г. в США был создан по проекту «Вест Форд» пояс вокруг Земли, состоящий из 480 млн. «иголок» с примерной плотностью 12 «иголок» на кубический километр (толщина пояса 15-20 км - меньше расчетной).

Чтобы исследовать относительное движение в окрестности спутника, нам пришлось сравнивать возмущенное и невозмущенное движения спутника вокруг Земли. Но часто поступают иначе. Можно вообще забыть о движении спутника вокруг Земли, а рассматривать только движения относительно спутника предметов, находящихся в его окрестности. Так как нас интересует движение

какого-либо предмета относительно спутника, то нам нужно учитывать действие на него не полного гравитационного ускорения, сообщаемого Землей, а векторной разности между гравитационным ускорением, сообщаемым Землей предмету, и гравитационным ускорением, сообщаемым Землей спутнику. Это будет уже знакомое нам возмущающее ускорение. Относительное движение предмета в окрестности спутника происходит под действием возмущающих ускорений.

Рис. 41. Поле гравитационных возмущений в окрестности спутника.

Опишем мысленно вокруг спутника сферу радиуса, скажем, и в каждой точке ее построим такое возмущающее ускорение. Мы получим картину, почти не отличающуюся от картины солнечных возмущений, действующих на движение спутника относительно Земли, которая была изображена на рис. 29. Только теперь на этом рисунке нужно на место спутника поместить некоторый предмет в окрестности спутника, на место Земли — спутник и на место Солнца — Землю, вся масса которой как бы сосредоточена в ее центре.

Аналогия с солнечными возмущениями в движении спутника Земли была бы полной, если бы имело смысл рассматривать притяжение спутником предмета в его окрестности, но последнее слишком ничтожно. Суть дела от этого, однако, не меняется: когда мы с помощью геометрического построения находили лунные и солнечные возмущающие ускорения в движении спутников Земли (рис. 28 и 29), притяжение Земли на самой этой вычислительной операции никак не отражалось (хотя, конечно, отражалось на самом движении спутников вокруг Земли).

Заметим, что возмущающие гравитационные ускорения в окрестности спутника весьма малы. На высоте над земной поверхностью ускорение притяжения нашей планеты падает на на метр высоты. Предмет, находящийся на ниже спутника, получает от Земли ускорение, примерно на большее, чем спутник, а находящийся на выше — примерно настолько же меньшее. Таким образом, в относительном движении первый предмет получит возмущающее ускорение, равное и направленное вниз (спутник как бы отталкивает

себя предмет), а второй — такое же примерно ускорение, направленное вверх (опять отталкивание). Подобные ускорения есть смысл учитывать лишь в том случае, когда мала и скорость предмета относительно спутника.

Если во всех точках окрестности спутника построить векторы гравитационных возмущений, то их совокупность может быть названа полем гравитационных возмущений. Часто его называют также полем относительной гравитации [2.12]. Рис. 41 наглядно изображает такое поле. Из рисунка видно, что от спутника как бы «дует слабый ветер» к Земле и от Земли, а в трансверсальном направлении дует еще более слабый «ветер» к спутнику. Напомним: причиной «ветра» является не спутник, а Земля, по разному притягивающая точки в его окрестности.