§ 5. Траектории в центральном поле тяготения

Путь, описываемый космическим аппаратом (точнее, его центром масс) в пространстве, называется траекторией или орбитой. Все многообразные формы траекторий можно разделить на четыре группы.

1) Прямолинейные траектории. Если начальная скорость равна нулю, то тело начинает падение в направлении к центру по прямой линии. Движение по прямой линии будет и в том случае, если начальная скорость направлена точно к центру притяжения или в прямо противоположном направлении, т. е. если скорость радиальна. Во всех остальных случаях прямолинейное движение невозможно (исключение представляет гипотетический случай движения с бесконечно большой скоростью).

Рис. 15. Эллиптическая орбита.

2) Эллиптические траектории. Если начальная скорость направлена не радиально, то [траектория уже не может быть прямолинейной, так как искривляется притяжением Земли. При этом она лежит целиком в плоскости, проведенной через начальное направление скорости и центр Земли.

Если начальная скорость не превышает некоторой величины, то траектория представляет собой эллипс, причем центр притяжения находится в одном из его фокусов (рис. 15). Если эллиптическая орбита не пересекает поверхности притягивающего небесного тела, космический аппарат является его искусственным спутником.

Расстояние между вершинами эллипса называется большой осью. Половина большой оси («большая полуось») принимается за среднее расстояние спутника от небесного тела и обозначается буквой а. Скорость и расстояние спутника от центра притяжения в любой момент времени (в частности, в начальный) связаны со средним расстоянием а зависимостью (приводим ее без доказательства)

Период обращения искусственного спутника вычисляется по формуле

или

где определенное число для каждого небесного тела.

Отношение расстояния между фокусами к длине большой оси называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой

Из формулы (4) видно, что чем больше начальная скорость, тем больше большая ось орбиты и тем больше, в соответствии с формулой (5), период обращения. При этом для одного и того же при направленных в разные стороны скоростях одинаковой величины получаются орбиты с одинаковыми периодами обращения и большими осями.

Ближайшая и наиболее удаленная от центра притяжения точки эллипса ( на рис. 15) называются соответственно перицентром и апоцентром, а прямая линия, их соединяющая, линией апсид.

Для конкретных притягивающих центров эти точки носят специальные названия. Так, если притягивающим телом является Земля, то перицентр и апоцентр называются соответственно перигеем и апогеем, если Солнце — перигелием и афелием, если Луна — периселением и апоселением. Скорость в перигее максимальна, в апогее минимальна, причем эти две скорости связаны соотношением

где расстояния в перигее и апогее. Скорости в перигее и апогее перпендикулярны к направлениям на центр Земли. Для

всех остальных точек эллипса верно соотношение

или

(нули в индексах указывают начальные величины). Здесь в левых частях стоят произведения расстояний на трансверсальные составляющие скорости т. е. на проекции скорости на перпендикуляр к радиальному направлению (рис. 15).

Рис. 16. Эллиптические орбиты при трансверсальных начальных скоростях: 1 — внешняя, 2 — внутренняя, 3 — круговая.

Если умножить левые и правые части равенства (6), (7) или (7а) на массу космического аппарата, то легко убедиться, что эти равенства выражают закон сохранения момента количества движения космического аппарата. Моментом количества движения относительно какой-либо точки (в данном случае относительно центра притяжения) в механике называется произведение количества движения на величину перпендикуляра, опущенного из точки на линию, указывающую направление скорости (в данном случае величина этого перпендикуляра равна

Рассмотрим практически важные случаи, когда начальные скорости трансверсальны (рис. 16). При этом, очевидно, начальная точка должна быть перигеем или апогеем. Первое будет в том случае, когда начальная скорость достаточно велика (больше некоторой величины), чтобы спутник мог начать удаляться от Земли на пути к апогею (орбита 1 на рис. 16). Второе будет в случае, когда скорость меньше той же величины (орбита 2); при этом, очевидно, возможно падение на Землю (если перигей окажется под земной поверхностью или ниже плотных слоев атмосферы). «Пограничным» является случай, когда начальная скорость такова, что спутник не поднимается и не опускается, т. е. описывает круговую орбиту 3 (частный случай эллиптической) с постоянной круговой скоростью

Радиус круговой орбиты равен большой полуоси а. Из формулы (4)

Из последней формулы, зная К для Земли, легко найти круговую скорость для любого расстояния от ее центра или для

любой высоты над земной поверхностью где средний радиус Земли).

В частности, у поверхности Земли круговая скорость равна Эту величину называют первой космической скоростью.

Из-за наличия земной атмосферы круговая орбита вблизи земной поверхности фактически неосуществима. Поэтому более верно было бы называть первой космической скоростью круговую скорость на высоте, где спутник способен совершить хотя бы один оборот, т. е. на уровне примерно С другой стороны, орбита на высоте зачастую принимается как некая стандартная при теоретических подсчетах [1.4, 1.36, 1.37]. При круговая скорость равна и некоторыми авторами принимается за «первую космическую» [1.4].

Если записать формулу (4) для начального момента времени, а именно:

то нетрудно заметить, что с увеличением начальной скорости большая полуось а также увеличивается. На рис. 17 показаны эллиптические орбиты при различных величинах трансверсальной начальной скорости, сообщаемой у поверхности Земли.

Рис. 17. Орбиты при различных трансверсальных начальных скоростях круговая 4 — эллиптические при параболическая ( гипербо лическая (

Из формулы (9) видно, что по мере того, как приближается к постоянной величине большая полуось а стремится к бесконечности.

3) Параболические траектории. Эллиптическая орбита, у которой «апогей находится в бесконечности», не является уже, конечно, эллипсом. Двигаясь по такой траектории, космический аппарат бесконечно далеко уходит от центра притяжения, описывая разомкнутую линию — параболу (рис. 17). По мере удаления аппарата его скорость приближается к нулю.

Приняв в формуле (3) скорость в бесконечности равной нулю мы найдем такую величину начальной скорости

которая обеспечивает возможность рассматриваемого движения. Получим

или

Вычисленная по формуле (10) величина называется параболической скоростью или скоростью освобождения. Получив такую скорость, космический аппарат движется по параболе и уже не возвращается к центру притяжения, как бы освобождаясь от оков тяготения. Когда скорость (10) сообщается в вертикальном направлении, траекторией является прямая линия, но и в этом случае скорость называют параболической. Между скоростью освобождения и круговой скоростью в любой точке существует простая зависимость

Значение скорости освобождения (параболической скорости) у поверхности Земли носит название второй космической скорости и составляет На высоте

Воспользовавшись формулой (10), мы можем теперь записать основную формулу (3) для скорости в центральном поле тяготения так:

4) Гиперболические траектории. Если космический аппарат получит скорость превышающую параболическую, то он, разумеется, также «достигнет бесконечности», но при этом будет двигаться уже по линии иного рода — гиперболе. При этом скорость аппарата в бесконечности уже не будет равна нулю. Физически это означает, что по мере удаления аппарата его скорость будет непрерывно падать, но не сможет стать меньше величины которую можно найти, приняв в формуле Получим

Величину называют по-разному: остаточная скорость, гиперболический избыток скорости и т. п.

Гиперболическая траектория вдали от центра притяжения становится почти неотличимой от двух прямых линий, называемых асимптотами гиперболы. На большом расстоянии от центра притяжения гиперболическую траекторию приближенно можно считать прямолинейной.

Для гиперболических и параболических орбит справедливы, как и для эллиптических орбит, формулы (7) и (7а).

В заключение заметим, что пассивное движение в центральном поле тяготения часто называют кеплеровым движением, а эллиптические, параболические и гиперболические траектории объединяются общим названием кеплеровых орбит по имени немецкого ученого Иоганна Кеплера (1571—1630), впервые установившего эллиптическую форму орбит планет, указавшего законы их движения (фактически — формулы (5) и и тем самым положившего начало небесной механике как науке.

Всегда важно помнить, что любая кеплерова орбита расположена в плоскости, проходящей через центр притяжения. Положение этой плоскости в пространстве не изменяется.

Полная механическая энергия для всех точек некоторой кеплеровой орбиты есть величина постоянная. Для параболической орбиты она всюду равна нулю, так как в этом случае в бесконечности равны нулю и кинетическая энергия, и потенциальная. Для любой эллиптической орбиты она отрицательна (так как эллиптическая скорость меньше параболической), а для любой гиперболической — положительна. В последнем случае величина представляет собой удвоенную полную механическую энергию, приходящуюся на единицу массы космического аппарата (для краткости ее часто называют просто «энергией запуска» или «удельной энергией», забывая о коэффициенте 2).